È il $S^1$ cono $D^2$?

Question

Permettere $X$ essere uno spazio topologico, lascia $Y=X \times [0,1]$ e $A=X \times \left \{ 0 \right \} \subset Y$. il cono su X è lo spazio$\left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \}$.

Adesso molla $X=S^1$, il mio obiettivo è dimostrare che il cono è acceso $X$ è omeomorfico a $D^2$, dove $D^2$ è il disco chiuso unitario in $\Bbb R^2$. Fondamentalmente, questo cono è ottenuto da un cilindro per contrazione della base inferiore in un punto.

Usando le coordinate polari possiamo stabilire una mappa $f: \left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \} \rightarrow D^2$ definito come $f(\theta, \rho)= \rho(\cos \theta, \sin \theta)$.
Questa mappa è continua, iniettiva e suriettiva, ma come dimostrare che è un omeomorfismo?

Answer 1

Mostrare $f$ è un omeomorfismo senza usare la compattezza, puoi costruire esplicitamente l'inverso di $f$, vale a dire $$ g(x, y) = [t(x, y), \sqrt{x^2 + y^2}] $$ dove le parentesi denotano la classe di equivalenza e $$ t(x, y) = \begin{cases} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & x = 0, y < 0\\ \arctan(y/x) & x > 0 \\ \pi + \arctan(y/x) & x < 0 \end{cases} $$ dove ciascuno di questi valori è da considerarsi un numero (mod $2\pi$), quindi un elemento di $S^1$.

La continuità di $g$ è abbastanza chiaro ovunque tranne che lungo il $y$-asse. Per quelli, dovrai dimostrarlo$g^{-1}(U)$ è aperto ogni volta $U$ è aperto nel dominio, il che significa scrivere un modo per descrivere gli insiemi aperti nel quoziente, che è un dolore al collo, ma sei il benvenuto a farlo.