È questa sequenza $a_n$ delimitato?

Question

Mi sono imbattuto in questa domanda qualche tempo fa:

Permettere $f : \mathbb{R} → \mathbb{R}$ essere una funzione differenziabile tale che la sua derivata $f'(x)$. è una funzione continua. Inoltre, assumilo per tutti$x \in \mathbb{R}$, $$0 \leq |f'(x)| \leq \frac{1}{2}.$$ Definisci una sequenza di numeri reali $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ tale che $$a_1=1$$ $$a_{n+1} = f(a_n) $$per tutti $n \in \mathbb{N}$. Dimostra che esiste un numero reale positivo$M$ tale che per tutti $n \in \mathbb{N}$, $$|a_n| \leq M.$$

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Il mio tentativo:

Usiamo il teorema del valore medio. $$\frac{f(a_n)-f(a_{n-1})}{a_n-a_{n-1}} = f'(x)$$ per alcuni $x \in [a_n,a_{n-1}]$. Lo sappiamo$-\frac{1}{2} \leq f'(x)\leq \frac{1}{2}$, quindi $$-\frac{1}{2} \leq\frac{f(a_n)-f(a_{n-1})}{a_n-a_{n-1}} \leq \frac{1}{2}.$$ Semplificando, lo troviamo $|a_{n+1} - a_n| \leq \frac{|a_n-a_{n-1}|}{2}$.

Qui definiamo una sequenza $x_n = |a_{n+1} -a_n|.$ È facile vederlo $x_n \leq \frac{x_{n-1}}{2}$ il che implica quello $$ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0$$ Che significa che $|a_{n-1} - a_n|$ è arbitrariamente piccolo e cresce più lentamente di $\{X_n : X_n = \Sigma \frac{1}{2^n} \}$. Quindi la sequenza deve convergere a un limite finito, diciamo$L$. Noi scegliamo$M = L+1$.

QED.

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Questa prova è corretta? Ho qualche scrupolo al riguardo, ma alcuni miei colleghi lo hanno esaminato e non sono stati in grado di trovare alcun problema con esso. Per favore aiutami con una spinta nella giusta direzione se si scopre che si tratta di un errore.

Answer 1

In sostanza lo hai dimostrato $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |a_{k+1} - a_k|$converge. Questo significa$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (a_{k+1} - a_k)$ converge anche e se definisci $$L = a_1 + \sum_{k=1}^\infty (a_{k+1} - a_k)$$ ottieni $$L - a_n = \sum_{k=n}^\infty (a_{k+1} - a_k)$$ per tutti $n$, e in particolare $$|L - a_n| \le \sum_{k=n}^\infty |a_{k+1} - a_k| \to 0$$ come $n \to \infty$.

Answer 2

Suggerimenti: usa il fatto, per $m\gt n $, $|a_{m}-a_{n}|\le |a_{m}-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdot\cdot\cdot+|a_{n+1}-a_{n}|\le \frac{1}{2^{m-1}}+\frac{1}{2^{m-2}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^{n}} $

La serie del lato destro è una serie GP con rapporto $\frac{1}{2}$.