Elementi di gruppo quoziente con $\mathbb Z$-base

Question

Gruppo libero abeliano $G, H$ avere rango $2$ e $G$ ha $\Bbb Z$-base $x, y$, Se $H$ ha $\Bbb Z$-base $$2x+y, 2x-3y$$ allora quali sono gli elementi di $G/ H$ ?

Sono nuovo agli argomenti, quindi non so come iniziare. La domanda è motivata dal seguente estratto del libro Algebraic-Number Theory di Ian Stewart e David Tall, a pagina 30 -

ad esempio, se $G$ ha rango $3$ e $\Bbb Z$-base $x, y, z$; e se$H$ ha $\Bbb Z$-base $$3x+y-2z, 4x-5y+ z, x +7z,$$ poi $|G/ H|$ è il valore assoluto di $\begin{bmatrix} 3 & 1 & -2\\ 4 & -5 & 1\\ 1 & 0 & 7 \end{bmatrix}$, vale a dire 142.

Volevo sapere quali sono gli elementi del gruppo quoziente $G/H$e l'ho chiesto, ma poiché ha un grande ordine ho modificato la mia domanda attuale.

Answer 1

presumo che $G$ è un gruppo abeliano libero su un insieme di due elementi $\{x,y\}$ e $H$ è il sottogruppo di $G$ generato da $2x+y$ e $2x-3y$. È facile verificarlo$H$ ha rango $2$. Il teorema sui sottogruppi di un gruppo abeliano libero finitamente generato (si veda, ad esempio, [§20, Kur]) implica che esistono basi$\{u_1,u_2\}$ e $\{v_1,v_2\}$ dei gruppi $G$ e $H$, tale che $v_1=k_1u_1$ e $v_2=k_2u_2$ per alcuni numeri naturali $k_1|k_2$. Ne consegue che$G/H$ è isomorfo un prodotto diretto di gruppi ciclici di ordini $k_1$ e $k_2$.

I numeri $k_1$ e $k_2$può essere trovato come segue. Permettere$u_1=a_{11}x+a_{12}y$, $u_2=a_{21}x+a_{22}y$, e $A=\|a_{ij}\|$, $1\le i,j\le 2$. Da$\{u_1,u_2\}$ è una base del gruppo $G$, esistono numeri interi $b_{ij}$, $1\le i,j\le 2$ tale che $x=b_{11}u_1+b_{12}u_2$ e $y=b_{21}u_1+b_{22}u_2$. Segue$BA=I$, dove $B=\|b_{ij}\|$, $1\le i,j\le 2$, la matrice $A$ è invertibile.

La formula di Cauchy-Binet implica che se$M$ è un numero intero $n\times n$ matrice e $A$ ed è invertibile $n\times n$ matrice intera quindi matrici $M$ e $MA$ hanno gli stessi divisori $d_1,\dots, d_k$, dove $d_i$ è il massimo comune divisore dei minori di $i$-esimo ordine della matrice.

Da $$\begin{pmatrix}k_1 & 0\\ 0 & k_2\end{pmatrix} A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 2 & -3\end{pmatrix},$$ $k_1=\gcd (2,1,2,-2)=1$ e $k_1k_2=\gcd\det \begin{pmatrix}2 & 1\\ 2 & -3\end{pmatrix}=8$.

Riferimenti

[Kur] AG Kurosh, Teoria dei gruppi , 3a ed., Nauka, Moskow, 1967. (in russo)