Equazione differenziale \ ordine superiore

Question

Ho bisogno di aiuto per risolvere questo compito, se qualcuno avesse un problema simile mi aiuterebbe.

Il compito è: trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale

$$ y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$

Per omogeneo ottengo:

$$y_H=c_1e^{2x}+c_2e^{-x}$$

Ho un problema con il particolare, ho provato:

$$y=(A\sin^2x+B\cos^2x)e^{2x}\\y'=(2A\sin x \cos x + 2B \sin x \cos x) e^{2x} +(A\sin^2 x + B \cos ^2 x) 2e^{2x}\\y''=2e^{2x}(2A \sin x \cos x - 2B \sin x \cos x + A\sin^2 x +B \cos^2 x)$$

Non ho idea se sia corretto?

Non so cosa succederà da qui ..

Grazie in anticipo !

Answer 1

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 (x)$$ Da $r^2-r-2=(r+1)(r-2)$, permettere $y=e^{2x}\,z$ produrre $$z''+3z'=\cos^2 (x)=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ Riduzione dell'ordine $p=z'$ ottenere $$p'+3p=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ Rendere $p=q+\frac 16$ $$q'+3q=\frac 12 \cos(2 x)\implies q=c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$p=z'=\frac 16+c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$z=\frac 16 x +c_2 e^{-3 x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))+c_3$$ $$y=e^{2x}\,z=\frac 16 xe^{2x}+c_2 e^{- x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))e^{2x}+c_3e^{2x}$$ Rendilo più semplice con la fattorizzazione.

Answer 2

La tua soluzione omogenea è corretta.

Nota che $\cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))$, quindi la soluzione particolare dovrebbe essere del modulo $$y_{p}(x)=Axe^{2x}+Be^{2x}\cos(2x)+Ce^{2x}\sin(2x).$$

Sostituendo lo troviamo $A=\frac{1}{6}$, $B=-\frac{1}{26}$ e $C=\frac{3}{52}$.

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$$y'_p=2C\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)-2B\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)+2C\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2B\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2Ax\mathrm{e}^{2x}+A\mathrm{e}^{2x}$$

e $$y''_p=\mathrm{e}^{2x}\left(-2\left(2C+2B\right)\sin\left(2x\right)+2\left(2C-2B\right)\cos\left(2x\right)+2A\right)$$ $$+2\mathrm{e}^{2x}\left(\left(2C-2B\right)\sin\left(2x\right)+\left(2C+2B\right)\cos\left(2x\right)+2Ax+A\right)$$

Quindi abbiamo $$y''_p-y'_p-2y_p$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(4C-4B+4C+4B-2C-2B-2B)+\sin(2x)(-4C-4B+4C-4B-2C+2B-2C)+2A+4Ax+2A-2Ax-A-2Ax\big]$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(6C-4B)+\sin(2x)(-4C-6B)+3A\big]$$ $$=\frac{e^{2x}}{2}(1+\cos(2x)).$$

Quindi abbiamo $3A=\frac{1}{2}\implies A=\frac{1}{6}$, $6C-4B=\frac{1}{2}$ e $-4C-6B=0$ che danno $C=\frac{3}{52}$ e $B=-\frac{1}{26}$.

Answer 3

Dobbiamo risolvere $$\text{ODE:}\quad \boxed{y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x)}$$ La soluzione generale sarà la somma della soluzione complementare e della soluzione particolare, è $$\text{solution general=solution complementary+particular solution}$$Suo $$y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)$$

Soluzione complementare: dobbiamo risolvere$$y''-y'-2y=0$$Permettere $y=e^{rx}$, quindi abbiamo $$(r^{2}-r-2)e^{rx}=0 \implies (r-2)(r-1)=0 \implies r=-1 \quad \vee \quad r=2$$. Quindi, abbiamo la soluzione dell'insieme fondamentale$\{e^{-x},e^{2x}\}$. Perciò$$\boxed{y_{c}(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}}$$ dove $c_{1},c_{2}$ sono costanti.

Soluzione particolare: utilizzando il metodo dei coefficienti indeterminati, quindi abbiamo$$y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x) \iff y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}+\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ La soluzione particolare sarà la somma delle soluzioni particolari a $$y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$$ e $$y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ Ora, la soluzione particolare per $y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$ è della forma $y_{p_{1}}(x)=x(a_{1}e^{2x})$ dove $a_{1}e^{2x}$ è stato moltiplicato per $x$ di cui tenere conto $e^{2x}$ nella soluzione complementare.

E la particolare soluzione a $y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$ è della forma $y_{p_{2}}(x)=a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$. Ora, somma$y_{p_{1}}$ e $y_{p_{2}}$ ottenere $y_{p}$, è da dire $$y_{p}(x)=a_{1}xe^{2x}+a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$$

Risolvi per le costanti sconosciute $a_{1},a_{2}$ e $a_{3}$ noi abbiamo $$a_{1}=\frac{1}{6}, \quad a_{2}=-\frac{1}{26} \quad \text{and} \quad a_{3}=\frac{3}{52}$$ Quindi, abbiamo $$\boxed{y_{p}(x)=\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}$$ Finalmente $$\color{blue}{\boxed{y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}}$$dove $c_{1}$ e $c_{2}$ sono costanti.

Answer 4

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$ $$y''e^{-2x}-2y'e^{-2x} +y'e^{-2x}- 2ye^{-2x}=\cos^2 x$$ $$(y'e^{-2x})' +(ye^{-2x})'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\dfrac 12(\cos(2 x)+1)$$ Integra entrambi i lati.

Answer 5

Suggerimento :

Per la particolare soluzione di $\;y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos^2x$, Vorrei prima linearizzare $\cos^2x$: $$\mathrm e^{2x}\cos^2x=\frac12\mathrm e^{2x}(1+\cos 2x), $$quindi applicare il principio di sovrapposizione , vale a dire determinare una particolare soluzione per

• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}$: come $2$ è una semplice radice dell'equazione caratteristica, una particolare soluzione può essere trovata nella forma $$y_0(x)=c_0x\mathrm e^{2x}$$ per un adatto $c_0$.
• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos 2x=\operatorname{Re}\bigl(\mathrm e^{2(1+i)x}\bigr)$, che è la parte reale di una particolare soluzione quando la rhs è $\mathrm e^{2(1+i)x}$. Come$2(1+i)$non è una soluzione dell'equazione caratteristica, questa particolare soluzione avrà la forma$$y_1(x)=c_1\mathrm e^{2(1+i)x} $$Nota che a priori $c_1$ sarà un numero complesso, quindi dovrai determinare la parte reale di $\:c_1\mathrm e^{2(1+i)x}$.

Lo troverai facilmente $c_0$ e $c_1$ mediante identificazione e dedurre una particolare soluzione per l'equazione originale come $$\frac12(y_0(x)+\operatorname{Re}\bigl(y_1(x)\bigr).$$