Esiste un principio di "certezza"?
Il principio di indeterminazione di Heisenberg è una restrizione sulla quale le distribuzioni di probabilità possono descrivere la posizione e la quantità di moto di una particella quantistica.
In termini matematici si dice che se$\psi\in L^2$è normalizzato e definiamo$f,g\in L^1$di$f(x)=|\psi(x)|^2$e$g(k)=|\hat\psi(k)|^2$Poi abbiamo$$V(f)V(g)\geq\frac14$$dove$V$è la varianza della distribuzione di probabilità con la funzione di densità data.
Esistono vari altri principi di indeterminazione, tra cui il principio di indeterminazione entropica e il principio di indeterminazione di Hardy . Definire$f,g\in L^1$essere compatibile se esiste$\psi\in L^2$tale che$f(x)=|\psi(x)|^2$e$g(k)=|\hat{\psi}(k)|^2$. Quindi ogni principio di indeterminazione enuncia una condizione compatibile$f$e$g$deve obbedire.
Ho notato un fatto curioso, che vale per tutto ciò che ho potuto trovare nella letteratura definendosi un "principio di incertezza". Per fisso$f$la restrizione su$g$è sempre un insieme convesso . Ad esempio l'insieme di$g$soddisfacente$V(g)\geq\frac1{4V(f)}$è convesso perché la varianza è una funzione concava sullo spazio delle distribuzioni di probabilità.
Questo ha senso con il nome "principio di incertezza". Intuitivamente, mescolare le distribuzioni di probabilità non può produrre un risultato più "certo" di tutti loro.
Tuttavia, giocando con la Discrete Fourier Transform come modello giocattolo, ho notato che il set di$g$compatibile con un dato$f$non deve essere convesso.
Campionati casualmente$g$compatibile con$f = (0.46,0.46,0.08)$e$f = (0.46,0.46,0.07,0.01)$:
Si noti che questi insiemi non sono convessi e non contengono nemmeno la distribuzione uniforme massimamente incerta (il punto centrale del simplesso delle possibili distribuzioni). Quindi l'incertezza delle distribuzioni in questi insiemi è limitata sia sopra che sotto.
In caso di distribuzioni su$\mathbb R$, possiamo anche trovarne uno$f$per cui possiamo dimostrare l'insieme dei compatibili$g$non è convesso?
C'è un 'principio di certezza' che, per$f$all'interno di una classe, pone un limite superiore alla varianza o entropia di compatibile$g$?
Risposte
A richiesta aggiungo un commento come risposta con alcuni dettagli aggiuntivi; ma quello che intendevo è davvero semplice. La realizzazione più semplice è la seguente: prendi qualsiasi$\psi\in L^2$. Dividi il suo supporto in un numero finito di parti per ottenere una rappresentazione$\psi=\sum_{k= 0}^N\psi_k$dove$\psi_0$è piccolo dentro$L^2$(la coda infinita) e$\psi_k$per$k>0$sono piccoli (meno di$\varepsilon$) in$L^1$(brevi intervalli). Ora moltiplica ciascuno$\psi_k$insieme a$k>0$di$e^{2\pi i Mkx}$insieme a$M$scelto così$\sup_{\lvert y\rvert>M,1\le k\le N}\lvert\widehat\psi_k(y)\rvert\le \frac{\varepsilon}N$(esiste da Riemann-Lebesgue). Quindi la trasformata di Fourier della funzione risultante in qualsiasi punto$y$sarà delimitato da$\lvert\widehat\psi_0(y)\rvert+3\varepsilon$. La prima parte non influenza nulla perché è$L^2$-la norma è piccola e il resto è uniformemente piccolo e, quindi, diffuso.
Se$\psi\in L^1\cap L^2$, quindi nessun trattamento speciale di$\psi_0$è necessario. Inoltre, puoi ottenere la vera piccolezza uniforme suddividendo in molte parti numerabili e scegliendo gli sfasamenti induttivamente invece di usare semplicemente una progressione aritmetica. E così via e così via.
Modifica: ora sulla convessità. Prendere$f$essere la funzione caratteristica su$[0,1]$e considera$g(k)$dove$k\in\mathbb Z$(in questo caso i valori dei punti sono funzionali continui). Chiaramente, ogni sequenza con tutti gli zeri e uno$1$è ammissibile ($\psi(x)=e^{2\pi ik_0x}$su$[0,1]$). Quindi, se la convessità avesse tenuto, saremmo in grado di costruire una funzione su$[0,1]$questo è identico$1$(o, almeno, il più vicino possibile a quello che vorremmo) tale che$g(0)=g(1)=\frac 12$e tutti gli altri$g(k)=0$. Tuttavia, sarebbe solo un polinomio a due termini con coefficienti uguali, quindi varierebbe un po' in valore assoluto su$[0,1]$. Questo prova almeno che a volte la convessità non regge. Sospetto che questo trucco possa essere generalizzato un po', ma i dettagli sono ancora sfuggenti.
Insieme a$D_x=\frac{d}{i dx}$, dall'uguaglianza si può dedurre il principio di indeterminazione di Heisenberg nella sua forma più classica$$ 2\Re \langle \hbar D_x u, ix u \rangle_{L^2(\mathbb R)}= \langle \bigl[\hbar D_x, ix\bigr] u, u \rangle_{L^2(\mathbb R)}=\hbar\Vert u\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2, $$il che implica$ \Vert \hbar D_x u\Vert_{L^2(\mathbb R)}\Vert xu\Vert_{L^2(\mathbb R)}\ge \frac\hbar 2\Vert u\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2, $dove la costante$\hbar/2$può essere dimostrato nitido testando una funzione gaussiana. Questo per quanto riguarda il limite inferiore. Forse un "principio di certezza" significherebbe che vogliamo affrontare il limite superiore (?) che abbiamo$$ \Vert \hbar D_x u\Vert_{L^2(\mathbb R)}\Vert xu\Vert_{L^2(\mathbb R)}\ge \Re \langle \hbar D_x u, ix u \rangle_{L^2(\mathbb R)}= \frac\hbar 2\Vert u\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2, $$ma è vero che il lato sinistro potrebbe essere molto più grande del destro: prendi ad esempio con$\omega$liscio, apprezzato$[0,1]$, pari a 1 per$\vert x\vert\ge 2$, a 0 su$\vert x\vert\le 1$,$\lambda \ge 1$,$$ u_\lambda(x)=(x^2+1)^{-1/2}\omega(x/\lambda),\quad \Vert u_\lambda\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2 \le π, $$ $$ u'_\lambda(x)=-\underbrace{x(x^2+1)^{-3/2}\omega(x/\lambda)}_{\text{bounded in $L^2$}}+\underbrace{\frac1\lambda \omega'(x/\lambda) (x^2+1)^{-1/2}}_{\substack{ \text{with limit $0$ in $L^2$}\\\text{since $\omega'$ has support $[\lambda, 2\lambda]$} }}, $$ $$ x u_\lambda(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \omega(x/\lambda),\quad \Vert xu_\lambda(x)\Vert_{L^2(\mathbb R)}={+\infty}. $$Di conseguenza, il limite superiore è$+\infty$.
Potresti trovare interessante la meccanica di von Neumann-Koopman. Qui, la meccanica classica è formulata nello stesso linguaggio formale della teoria trasformazionale di Dirac che ha sostituito sia la Meccanica delle Onde di Schrodinger che la Meccanica delle Matrici di Heisenberg.
Le osservabili, come in Meccanica Quantistica, sono rappresentate da operatori autoaggiunti sullo spazio di Hilbert delle funzioni d'onda KvN. Tuttavia, a differenza della meccanica quantistica, questi operatori commutano e quindi sono simultaneamente misurabili. Ciò significa che il principio di indeterminazione di Heisenberg scompare per essere sostituito dalle consuete leggi deterministiche della meccanica newtoniana classica, alias un "principio di certezza".