Fascio normale e gonfiaggio

Question

Lavoriamo sullo spazio proiettivo complesso: consideriamo una varietà omogenea $X$ e una sottovarietà $Y$. L'ho imparato, se facciamo l'esplosione di$X$ con centro $Y$, otteniamo una nuova varietà $\tilde{X}$, insieme a una mappa $\pi: \tilde{X}\to X$, che è un isomorfismo al di fuori del locus eccezionale, cioè $Y$.

Anche se non ho un riferimento preciso, mi è stato detto che l'eccezionale divisore di $Y$, questa è l'immagine inversa $\pi^{-1}(Y)$, coincide con il fascio proiettivo del fascio normale, cioè,

$$\tilde{Y}=\pi^{-1}(Y)\simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X}^\vee)=(\mathcal{N}_{Y\mid X}\setminus Y)/\sim,$$

dove $\sim$ è l'azione standard di $\mathbb{C}$.

Domande:

• Qual è un buon riferimento di questa costruzione? So che è il contenuto del Teorema II.8.24 della Geometria Algebrica di Hartshorne, ma senza una conoscenza della teoria degli schemi (e della costruzione del progetto e dei fasci coerenti) è un po 'difficile, quindi forse c'è un testo più accessibile;
• Nelle pagine 86-87 di queste note ( https://www.math.ens.fr/~debarre/M2.pdf ), iniziamo con una curva razionale $\Gamma^+$ in $X^+$ con pacco normale $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-2)$: poi gli autori fanno l'esplosione $\Gamma^+$, e afferma che il divisore eccezionale è $$S^+_1=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(1))$$ ma usando le formule di cui sopra dovrebbe essere $\mathbb{P}(\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(2))$: cosa mi manca?

Answer 1

Alla tua affermazione manca un'ipotesi: serve anche noi $Y$essere non singolare. In ogni caso, un riferimento alternativo è la sezione 22.3 di "The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry" di Vakil , che è generalmente considerato un riferimento più accessibile di Hartshorne. Vakil non fornisce una prova dell'affermazione che desideri - è l'Esercizio 22.3.D - ma l'inizio dell'esercizio può fornire qualche guida utile su come dimostrarlo.

Sfortunatamente, non sono a conoscenza di un riferimento per questa affermazione che non usi il linguaggio degli schemi, la costruzione Proj e i fasci quasicoerenti almeno in una certa misura.

Per rispondere alla tua seconda domanda, i due fasci proiettivi sono isomorfi, perché i fasci proiettivi non cambiano se tendi da un fascio di linee. Questo è l'esercizio 17.2.G nelle note di Vakil e il Lemma II.7.9 in Hartshorne. Un altro riferimento per la dichiarazione generale è Stacks Project, tag 02NB . In particolare, per tutti$c \in \mathbb{Z}$, noi abbiamo $$\mathbb{P}(\mathcal{O}(a) \oplus \mathcal{O}(b)) \cong \mathbb{P}(\mathcal{O}(a + c) \oplus \mathcal{O}(b + c)).$$