Forme equivalenti per $\int \csc(x) dx$

Question

Questa domanda ha riguardato due forme comuni comunemente date per$\int \csc(x) dx$, in particolare:

$$ (1) \qquad \int \csc(x) dx = \mathbf{{\color{red}-} \ ln|csc(x)+cot(x)| + C}, $$

e

$$ (2) \qquad \int \csc(x) dx = \mathbf{ln|csc(x) \ {\color{red}-}\ cot(x)| + C}. $$

E la risposta accettata è chiara e convincente; tuttavia, WolframAlpha sembra non essere d'accordo .

In passato, ho scoperto che cercare di capire perché Wolfram sta dando una risposta che è diversa da quella che mi aspetterei generalmente mi porta a imparare qualcosa di nuovo, quindi speravo che qualcuno potesse essere in grado di offrire qualche spunto su questo .

Answer 1

In sostanza, tutto ciò che dobbiamo mostrare è questo $\exists C$ tale che: $$-\ln |\csc x + \cot x| = \ln |\csc x - \cot x| + C$$

Ciò equivale a dimostrare che:

$$\ln \left|\frac{1}{\csc x + \cot x}\right| = \ln |\csc x - \cot x| + C$$

Beh ... in realtà possiamo solo dimostrarlo $\frac{1}{\csc x + \cot x} = \csc x - \cot x$.

Come al solito quando si ha a che fare con le funzioni trigonometriche, le cose diventano molto più chiare quando convertiamo tutto in $\cos x$ e $\sin x$anziché. Il lato sinistro diventa:

$$\frac{1}{\frac{1}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$$

e il lato destro è:

$$\frac{1 - \cos x}{\sin x}$$

Possiamo portare entrambi i lati allo stesso denominatore:

$$ \begin{cases} LHS &=& \frac{\sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} \\ RHS &=& \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x(1 + \cos x)} \end{cases} $$

È facile vedere che questi sono uguali.

Answer 2

Bene: $$\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\cdot\frac{1-\cos x}{1-\cos x}=\frac{1-\cos^2x}{\sin x(1-\cos x)}$$

$$=\frac{\sin^2 x}{\sin x(1-\cos x)}=\frac{\sin x}{1-\cos x}=\bigg(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\bigg)^{-1} \ a.r.$$ quindi l'identità è chiaramente vera, ovunque $\csc x,\cot x$ Sono definiti.

Il mio primo sospetto era che forse "ineguaglianza" esiste quando le funzioni non sono definite, ad esempio at $x=0$. Ma controllare questo lo ha gettato fuori dalla finestra. Mi sembra un errore.