Funtore di sostituzione dei fibranti: la sua azione sui morfismi

Question

Sto leggendo quanto segue in Categorie di modelli di Hovey.

E prima di andare oltre, ecco la definizione della categoria del modello con cui sto lavorando:

Dalla lettura della risposta dal funtore sostitutivo di Fibrant , so come$Q$agisce sugli oggetti, ma non sono ancora sicuro di come agisca sul morfismo.

La mia ipotesi sarebbe la seguente.

Indichiamo$\phi$come oggetto iniziale. Voglio sapere cos'è$Q(f \colon X \rightarrow Y)$.

Consideriamo la fattorizzazione di$i_1 \colon \phi \rightarrow Y$di$i_1 = \beta(g) \alpha(g)$e la fattorizzazione di$i_2 \colon \phi \rightarrow X$di$i_2 = \beta(h) \alpha(h)$, dove$\alpha(g) \colon \phi \rightarrow QY$e$\alpha(h) \colon \phi \rightarrow QX$.

Possiamo considerare il seguente quadrato commutativo.

$\alpha(h)$è una cofibrazione, e$\beta(g)$è una fibrazione banale, quindi c'è un ascensore$k \colon QX \rightarrow QY$.

Ora, voglio dire$Qf = k$, ma questo incremento potrebbe non essere unico, quindi questo pone un problema.

Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato, grazie!

Answer 1

Hai scritto "funtore di sostituzione del fibrante", ma hai usato la notazione$Q$, che è la notazione per il funtore di sostituzione del cofibrante. Sono andato con quello fibrante, ma ovviamente, per$Q$, la storia è interamente duplice.

Bene se$f: X\to Y$, hai un morfismo di morfismi:

$\require{AMScd}\begin{CD} X @>>> Y \\ @VpVV @VqVV \\ *@>>> *\end{CD}$

e da allora$(\gamma,\delta)$è per ipotesi una fattorizzazione funtoriale, si ottiene una mappa$\gamma(p)\to \gamma(q)$, cioè un quadrato commutativo:

$\begin{CD}X @>>> Y \\ @V\gamma(p)VV @V\gamma(q)VV \\ R(X) @>>> R(Y)\end{CD}$

insieme a$R(X) \to R(Y)$dato come parte dei dati di$\gamma((f,id_*))$(si noti che in$\gamma(p)$, vediamo$p$come oggetto della categoria freccia, mentre in$\gamma((f,id_*))$,$(f,id_*)$è una freccia nella categoria freccia)

Il fatto che questa mappa$R(f): R(X)\to R(Y)$fa$R$in un funtore segue dal fatto che$\gamma$è un funtore e quello$(g,id_*)\circ (f,id_*)= (g\circ f,id_*)$