Gioco di scommesse ottimale di Lap Theory

Question

Tre prigionieri sono seduti a un tavolo. Ognuno di loro ha un cellulare in grembo e non è autorizzato a guardare il telefono di nessun altro (e ovviamente non è consentita nessun'altra forma di comunicazione).

Ogni telefono visualizza un numero da 0 a 10 inclusi. Sanno che non esistono due prigionieri con lo stesso numero. Supponi che ogni numero sia ugualmente probabile (cioè distribuzione uniforme per i nerd di matematica tra di voi). Ogni prigioniero deve scommettere tra 1 e 100 gettoni sul numero più alto.

Le vincite e le sconfitte vengono conteggiate ei prigionieri vengono liberati se e solo se le loro vincite nette sono positive (le scommesse vengono inviate tramite telefono cellulare, quindi nessuna informazione sulla scommessa di qualcun altro può essere utilizzata per la propria strategia).

Esempio: A, B, C hanno numeri 3,5,8 rispettivamente. Scommettono rispettivamente 30, 42, 53. C vince 53 ma A e B perdono 72 in totale ei prigionieri non vengono liberati.

Qual è la strategia ottimale di Lap Theory per i tre prigionieri? E quali sono le possibilità che ottengano la libertà? Puoi provare che la tua risposta è davvero ottimale?

Supponiamo che i prigionieri cooperino e che non ci sia "invidia" nei confronti di chi vince la loro scommessa individuale.

NOTA: il titolo del puzzle si basa sul concetto di Game Theory Optimal (GTO): esiste un'unica decisione migliore per ogni scenario di scommesse immaginabile in qualsiasi forma di poker (che si tratti di Holdem, Stud, Razz o rimozione di capi di abbigliamento ogni volta pieghi una mano vincente). La vera domanda è ispirata da uno scandalo di imbrogli che ha coinvolto Mike Postle e Gambling Hall di Stones , di cui ho scoperto solo di recente.

NOTA: non sono sicuro che l'ipotesi del cappello sia un tag appropriato, ma non riesco a pensare a niente di meglio.

Answer 1

La loro migliore strategia è

(numero estratto $\rightarrow$ importo che dovrebbero scommettere) $0\rightarrow 0,1\rightarrow 0,2\rightarrow 1,3\rightarrow 2,4\rightarrow 4,5\rightarrow 7$ $6\rightarrow 12,7\rightarrow 20,8\rightarrow 33,9\rightarrow 54,10\rightarrow 88$
se si posiziona un file $0$la scommessa è consentita.

Altrimenti dobbiamo sostituire la serie con qualcosa di simile
$0\rightarrow 1$
$1\rightarrow 1$
$2\rightarrow 1$
$3\rightarrow 3$
$4\rightarrow 5$
$5\rightarrow 9$
$6\rightarrow 15$
$7\rightarrow 25$
$8\rightarrow 41$
$9\rightarrow 67$
$10\rightarrow 100$.
Questo non è unico. L'unico requisito è che di tre numeri distinti estratti il ​​più grande scommetterà più dei due numeri più bassi combinati o se questo non può essere ottenuto, avrà il minor numero di eccezioni possibile. Nello scenario 2 abbiamo due eccezioni:$(0,1,2)$ e $(8,9,10)$.

Le loro possibilità con questa strategia sono

$100\%$ nel primo scenario e $1 - \frac 2 {\left(\begin{matrix}11 \\ 3\end{matrix}\right )}\approx 98.8\%$ nell'altro.

Ottimalità

Per questo dobbiamo dimostrare che non esiste una strategia che ci faccia perdere in meno di due risultati. Il caso critico è un risultato negativo. Saremmo in grado di eliminare quel singolo caso rimuovendo piuttosto istintivamente uno dei suoi numeri estratti dal pool di numeri ammissibili lasciando$10$ numeri disegnabili e a $100\%$tasso di successo. Ma$10$ ancora non può essere separato anche con l'imballaggio più stretto: $1,1,3,5,9,15,25,41,67,109$.