GIT e singolarità

Question

Permettere$G$essere un gruppo riduttivo complesso che agisce su una varietà affine complessa$X$e lascia$X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$essere il quoziente GIT.

Esiste una relazione tra il locus singolare di$X$e quello di$X // G$?

Ovviamente,$X//G$può essere altamente singolare mentre$X$è liscio. Ma, per esempio, mi chiedevo se (oa quali condizioni) i punti singolari$X$sono mappati a punti singolari di$X // G$.

Modificare. Il bel commento di Spenser di seguito mostra che la risposta a quest'ultimo è no. Ma forse una domanda migliore e più precisa è: Se$X // G$non è singolare a$y$, esiste un non singolare$x \in X$mappatura su$y$? In altre parole, fai tutte le fibre di$X \to X // G$in punti non singolari contengono un punto non singolare di$X$? Sono disposto ad assumere irriducibilità o altre proprietà piacevoli.

Answer 1

Questa è una risposta alla domanda rivista. È il controesempio più semplice che mi viene in mente di dove il gruppo riduttivo è liscio e connesso, dove$X$è normale e affine, e dove$Y=X//G$è liscia, anche se ci sono fibre della mappa quoziente che sono contenute nel locus singolare di$X$.

Permettere$Y$essere$\text{Spec}\ k[x,y,z]$, cioè affine$3$-spazio. Permettere$G$essere il gruppo moltiplicativo di unità,$G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. Permettere$X$essere$\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$dove$f$è il polinomio,$$f=s^2+t(xz-y^2).$$Lascia che l'azione di$G$su$X$essere definito da$$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$L'anello di$G$-polinomi invarianti è il sottoanello,$$k[X]^G = k[x,y,z].$$La mappa del quoziente è solo la solita proiezione,$$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$Per il fitto Zariski aperto$U = D(xz-y^2)\subset Y$, l'immagine inversa$q^{-1}(U)$è un$G$-tortore sopra$U$.

Il luogo singolare di$X$è il singolo$q$-fibra,$q^{-1}(0,0,0)$. Anche se l'origine è un punto liscio di$Y$, ogni punto di questo$q$-fibra è un punto singolare di$X$.