Grado di Cantor-Bendixson di tipo isolato

Question

Questo è il lemma 2.2.3 (i) nel libro di S.Buechler Essential Stability Theory . Permettere$T$essere una teoria completa. Definiamo il rango di Cantor-Bendixson di una formula$\phi$ in $n$ variabili come segue.

1. $CB(\phi)=-1$ Se $\phi$ è incoerente;
2. Permettere $\alpha$ essere un ordinale e $\Psi_{\alpha}= \{\psi: CB(\psi)=\beta \mbox{ for some } \beta < \alpha \}$. $CB(\phi)=\alpha$ Se $\{p\in S_n(\emptyset) : \phi \in p \mbox{ and } \neg \psi \in p \mbox{ for all } \psi \in \Psi_{\alpha} \}$ è non vuoto e finito.

Permettere $p$ essere un completo isolato $n$-genere. Allora lo sappiamo$p$ è isolato dalla formula $\phi'$dalla definizione di isolamento. La mia domanda è

Perché $CB(\phi')=0$ ?

Sembra che dobbiamo dimostrare che ci sono solo un numero limitato di tipi $p \in S_n(\emptyset)$ quale $\phi' \in p$ e $\neg \psi \in p$ per tutti $\psi \in \Psi_0$. Ma non ho idea di come dimostrarlo. Eventuali suggerimenti e suggerimenti sono i benvenuti. Grazie!

Answer 1

Dimostriamolo prima direttamente dalle definizioni che citi. Le formule in$\Psi_0$sono esattamente le formule incoerenti. Quindi per qualsiasi tipo$q$ e qualsiasi $\psi \in \Psi_0$ noi abbiamo $\neg \psi \in q$. Ciò significa che$$ \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q \text{ and } \neg \psi \in q \text{ for all } \psi \in \Psi_0\} = \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q\} = \{p\}, $$ dove segue l'ultima uguaglianza perché $\phi'$ isolati $p$. Quindi davvero$CB(\phi') = 0$.

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Il rango di Cantor-Bendixson è spesso definito anche in modo topologico come segue. Per i riferimenti, vedere ad esempio A Course in Model Theory by Tent and Ziegler, esercizio 6.2.6, or Model Theory: An Introduction by Marker, esercizio 6.6.19g (sebbene ci sia un errore di battitura, che dovrebbe essere chiaro dalla definizione sotto) .

Per uno spazio topologico $X$ definiamo $X^{(\alpha)}$ per gli ordinali $\alpha$ come segue:

1. $X^{(0)} = X$,
2. $X^{(\alpha+1)} = X^{(\alpha)} - \{x \in X^{(\alpha)} : x \text{ is an isolated point in } X^{(\alpha)}\}$,
3. $X^{(\lambda)} = \bigcap_{\alpha < \lambda} X^{(\alpha)}$ per limite $\lambda$.

Noi chiamiamo $X^{(\alpha)}$ il $\alpha$-th Cantor-Bendixson derivato di$X$. Per un punto$x \in X$il grado Cantor-Bendixson $CB(x)$ è quindi il massimo $\alpha$ tale che $x \in X^{(\alpha)}$.

Applicando questo a $X = S_n(\emptyset)$ possiamo dare un senso al Cantor-Bendixson per una formula $\phi$ IMPOSTANDO $$ CB(\phi) = \sup \{CB(p) : \phi \in p \in S_n(\emptyset)\}. $$Sarebbe un buon esercizio mostrare che queste definizioni sono equivalenti (anche se sarebbe un esercizio più difficile di quello che hai chiesto). Con queste definizioni ne seguirebbe facilmente anche quello$CB(\phi') = 0$ Se $\phi'$ isola un tipo.