Grassmanian è una varietà (Hirsch)

Question

Sto cercando di fare un esercizio tratto dal Libro di Hirsch, Topologia differenziale, che fondamentalmente vuole che lo dimostri $G_{n,k}$ è una varietà.

Il collettore grassmaniano $G_{n,k}$ di $k$-sottospazi dimensionali o $k-$piani di $\mathbb{R}^n$viene fornito un atlante come segue. Permettere$E\subset \mathbb{R}^n$ essere un $k-$aereo, possiamo identificare $\mathbb{R}^n\cong E\bigoplus E^\perp$. Ogni$k$-aereo abbastanza vicino $E$ è il grafico di una mappa lineare unica $T:E\rightarrow E^{\perp}$.

Ora non vedo perché questa affermazione è vera e come questo mi darà un set aperto, qualcuno può fornirmi qualche suggerimento? Grazie in anticipo.

Answer 1

Suggerimento : puoi interpretare "$F$ è abbastanza vicino a $E$" come "$F\cap E^\perp=\{0\}$"e i sottospazi con questa proprietà definiscono il vicinato aperto di $E$che stai cercando. Supponendo questo, qualsiasi elemento di$\mathbb R^n$ può essere scritto in modo univoco come la somma di un elemento di $F$ e un elemento di $E^\perp$. In questo modo per elementi di$E$ e quindi mappare al file $E^\perp$-componente definisce una mappa lineare $E\to E^\perp$, il cui grafico è $F$. Dal momento che lo spazio$L(E,E^\perp)$delle mappe lineari è uno spazio vettoriale a dimensione finita, puoi costruire grafici che hanno valori in questo spazio. (In alternativa, scegli le basi e interpreta i grafici come aventi valori negli spazi delle matrici.)