gruppo risolvibile e abeliano

Question

Da wiki, un gruppo $G$ è risolvibile se ci sono sottogruppi $1 = G_0 \trianglelefteq G_1$⋅⋅⋅$\trianglelefteq G_k = G$ tale che $G_{j−1}$ è normale in $G_j$, e $G_j /G_{j−1}$ è un gruppo abeliano, per $j = 1, 2, …, k$.

Ho il problema che dobbiamo solo scegliere $1\trianglelefteq$G e otteniamo $G$ è sovrascrivibile, quindi qualsiasi gruppo è risolvibile, sbaglio?

Answer 1

Per quanto riguarda il tuo problema: dice solo che se un gruppo $G$è abeliano, quindi è risolvibile. Non il contrario:$S_3$ è risolvibile, ma non abeliano.

Answer 2

Nella notazione della definizione, per la sequenza $1\trianglelefteq G$ noi abbiamo $G_0 = 1$ e $G_1 = G$e lo richiediamo $G_1/G_0$è un gruppo abeliano. Da$G_1/G_0 = G/1 \cong G$, questa sequenza mostra solo quello $G$ è risolvibile se $G$ è abeliano.