H. Cartan - Calcolo differenziale. Query?

Question

In H. Cartan - Calcolo differenziale (1971) p. 29 indaga la differenziazione di una funzione bi-lineare$f: E_1 \times E_2 \to F$ dove $E_1, E_2, F$ sono spazi di Banach e $E_1 \times E_2$ il prodotto (presumibilmente cartesiano).

Afferma $E_1 \times E_2$essere uno spazio di Banach con le ovvie regole di addizione e moltiplicazione scalare.
Penso che questo potrebbe essere OK se$E_1, E_2$sono unidimensionali, ma non altrimenti. Per essere algebricamente completo non deve invece utilizzare il prodotto tensoriale$E_1 \otimes E_2$?
Poiché per$E_1, E_2$ almeno bidimensionale con basi $\{u_1, u_2\}, \{v_1, v_2\}$ c'è un controesempio molto chiaro ...
$(u_1, v_1), (u_2, v_1), (u_1, v_2), (u_2, v_2) $ sono elementi di $E_1 \times E_2$. Ma allora$(u_2, v_1) + (u_1, v_2) + (u_2, v_2) $ non è della forma $(u, v)$ e quindi non in $E_1 \times E_2$, ie $E_1 \times E_2$ non è algebricamente chiuso sotto addizione.

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Potrei aver confuso alcuni concetti in quanto sopra.
Sembra che$E_1 \times E_2$ con addizione e moltiplicazione scalare come notato da @JohnHughes è la somma diretta di $E_1, E_2$e niente a che vedere con il prodotto tensore.
E poi come notato da @JoonasIlmavirta$(u_2, v_1) + (u_1, v_2) + (u_2, v_2) = (u_1 + 2.u_2, v_1 + 2.v_2)$.

Answer 1

Poiché per $E_1, E_2$ almeno bidimensionale con basi $\{u_1, u_2\}, \{v_1, v_2\}$ c'è un controesempio molto chiaro ...
$(u_1, v_1), (u_2, v_1), (u_1, v_2), (u_2, v_2) $ sono elementi di $E_1 \times E_2$. Ma allora$(u_2, v_1) + (u_1, v_2) + (u_2, v_2) $ non è della forma $(u, v)$ e quindi non in $E_1 \times E_2$, ie $E_1 \times E_2$ non è algebricamente chiuso sotto addizione.

La somma che hai dato è $$ (u_2, v_1) + (u_1, v_2) + (u_2, v_2) = (u_2+u_1+u_2,v_1+v_2+v_2) $$ e questo è un elemento di $E_1\times E_2$ perché $u_2+u_1+u_2\in E_1$ e $v_1+v_2+v_2\in E_2$. Il vettore è effettivamente della forma$(u,v)$, dove $u=u_2+u_1+u_2$ e $v=v_1+v_2+v_2$.

Questo non ha niente a che fare con gli spazi di Banach. Si tratta del concetto di un prodotto di due spazi vettoriali come un altro spazio vettoriale.

Answer 2

Sospetto che la definizione di addizione sia questa $$ (u_1, v_1) + (u_2, v_2) = (u_1 + u_2, v_1 + v_2), $$ dove la prima aggiunta (sul lato destro) è l'addizione su $E_1$e il secondo è l'addizione $E_2$.

Per la moltiplicazione scalare, immagino che la definizione sia $$ r(u, v) = (ru, rv) $$ dove la prima voce utilizza la moltiplicazione scalare da $E_1$e il secondo usa la moltiplicazione scalare da $E_2$.

Presumibilmente la norma $E_1 \times E_2$è solo qualcosa come la somma delle singole norme. La completezza quindi segue da qualcosa come la disuguaglianza del triangolo: se$\{(u_i, v_i)\}_i$ è una sequenza di Cauchy, quindi ciascuna di $\{u_i\}_i$ e $\{v_i\}_i$ è troppo, quindi convergono entrambi, quindi la sequenza accoppiata converge ai limiti accoppiati.

Answer 3

Uno spazio di Banach è uno spazio normato completo, cioè ogni sequenza di Cauchy rispetto alla norma spaziale è convergente. Il fatto che esistano forme bilineari su$E_1 \times E_2$ che non sono tensori puri non hanno nulla a che fare con $E_1 \times E_2$ essendo uno spazio Banach.