i numeri complessi aiutano

Question

Dati i seguenti numeri complessi: $$ z=1+i\sqrt{3} \qquad w = 0.707 - 0.707i $$ trova le forme cartesiane delle seguenti espressioni: $$ z^2 \bar{w}\qquad\text{and}\qquad \frac{z^3}{w^9} $$

Il primo che ho trovato la risposta è 1.414 - 1.414i, è corretto?

Answer 1

Se conosci le forme polari di $z$ e $w$, quindi il calcolo diventa molto più semplice come accennato nei commenti.

Supporre che $z=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ e $w=r_{2}e^{i\theta_{2}}$, poi

$z^{2}\bar{w}=(r_{1}e^{i\theta_{1}})^{2}(r_{2}e^{-i\theta_{2}})=r_{1}^{2}r_{2}e^{i(2\theta_{1}-\theta_{2})}$ e $\frac{z^{3}}{w^9}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{9}}e^{3i(\theta_{1}-3\theta_{2})}.$

Quindi puoi usare la formula di Eulero :$re^{i\theta}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ per esprimere il tuo risultato nella forma $x+iy.$

Da allora $r_{1}=|z|=2$ e $\theta_{1}=\arctan(\frac{\sqrt{3}}{1})=\frac{\pi}{3}$ ce l'hai $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}.$ Allo stesso modo $w=r_{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ dove $r_{2}=|w|=\sqrt{(0.707)^2+(0.707)^2}\space(\approx 0.9998489885978).$

Answer 2

Suggerimento:

Osservalo $\;0.707\cong\cfrac1{\sqrt2}\approx\cfrac{\sqrt2}2\;$ , così

$$w\approx\frac{\sqrt2}2(1-i)$$

Così è il primo

$$z^2\overline w=(-2+2\sqrt3\,i)\frac1{\sqrt2}(1+i)=\sqrt2(-1+\sqrt3~i)(1+i)=\sqrt2(-1-\sqrt3-(1-\sqrt3)i)=$$

$$=-\sqrt2\left[(1+\sqrt3+(1-\sqrt3)~\right]$$

Continua da qui ...

Come commentato, in forma polare è molto più semplice. Scegliendo l'argomento standard in [0,2 \ pi); $, otteniamo:

$$ \; z = 2e ^ {\ pi i / 4} \;, \; \; w = e ^ {3 \ pi i / 4} \ implica \ text {ecc.} $$

e così via.