$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ per ogni teoria $T$, ogni cardinale $\lambda$.

Question

Permettere $T$ essere una teoria completa del primo ordine.

Supponendo $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, è ovvio che $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? La domanda è stata stimolata guardando la congettura di Vaught su wikipedia. Non ho molta conoscenza della teoria dei modelli, quindi potrebbe essere ovvio e sto solo facendo la stupida o potrebbe usare una tecnologia che non ho ancora coperto. O forse questo è vero solo quando$\lambda = \aleph_0$ ?

L'unica cosa a cui riesco a pensare è contare il numero di modelli non isomorfi in base ai tipi che soddisfano, ma non credo che funzioni del tutto.

Answer 1

Nell'ambientazione che stai descrivendo ci sono al massimo $2^\lambda$ $L$-strutture, e quindi certamente non più di $2^\lambda$ classi di isomorfismo di modelli di $T$.

Correggi un file $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, e lascia $M$ essere un insieme di cardinalità $\lambda$.

Per ciascuno $n$-simbolo di funzione secondaria $f$ dobbiamo interpretare $f$ come una funzione $f : M^n \to M$. Ci sono esattamente$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$molte di queste funzioni tra cui scegliere. Allo stesso modo, per ciascuno$n$-simbolo di relazione parziale che abbiamo $2^\lambda$ opzioni tra cui scegliere e per ogni simbolo costante abbiamo solo $\lambda$ opzioni tra cui scegliere.

Quindi per ogni simbolo nella lingua che abbiamo al massimo $2^\lambda$scelte. Dal momento che ci sono al massimo$\lambda$ simboli nella lingua, il numero totale di scelte che dobbiamo fare è al massimo $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.