Infinito come limite in una forma indeterminata

Question

C'è questo limite $$\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{\left(x-1\right)^{2}}$$ per il quale ho costruito un grafico e conosco la risposta, quindi la domanda non è su come calcolarlo, ma sulla mia osservazione che quando $x$ approcci $1$ da destra, il $\ln x = 0^+ $, ma quando $x$ approcci $1$ da sinistra, il $\ln x = 0^-$.

Sulla base di questo fatto, anche se è una forma indeterminata $0 : 0$, posso già dire che il limite non esiste o non è abbastanza e devo trasformarlo in una forma determinata? E se devo trasformarlo in una forma determinata, come posso farlo?

Answer 1

Per valutare l'indeterminazione basta inserire il valore limite per numeratore e denominatore per vedere che è nella forma $\frac 0 0$.

Per la soluzione possiamo evitare l'Hospital di $x-1=t \to 0$ ottenere

$$\frac{\ln x}{\left(x-1\right)^{2}}=\frac{\ln (1+t)}{t^{2}}=\frac1t\frac{\ln (1+t)}{t}$$

con $\frac{\ln (1+t)}{t}\to 1$ quindi possiamo concludere che il limite non esiste.

Answer 2

Non "trasformi" un'espressione in una forma indeterminata. Si tratta di una forma indeterminata finché non è stato calcolato il limite.

Hai riconosciuto una forma indeterminata del tipo $\dfrac00$, ora il tuo compito è valutarlo. L'Hospital è un modo.