Interno di un aereo in $\mathbb{R^3}$ è vuoto .

Question

Devo provare quanto segue:

Interno di un aereo in $\mathbb{R^3}$ , sotto $d_2$ la metrica è vuota.

($d((u_1,u_2,u_3), (v_1,v_2,v_3)) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 +(u_2 -v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2}$)

Per favore controlla se la mia prova è corretta o no.

Un aereo in $\mathbb{R^3}$ è dato da : $ax + by + cz = d$ dove $a,b,c \in \mathbb{R}$

Permettere $U =\{ax + by + cz = d|a,b,c \in \mathbb{R}, and (x,y,z) \in \mathbb{R^3}\}$

Supponiamo che Interior of $U$ non è vuoto, diciamo $(x_0 ,y_0,z_0) \in \text{Int(U)}$

ne esistono alcuni $r >o $ tale che la palla aperta $B(t,r) \subseteq U$ dove $t =(x_0 ,y_0,z_0)$

Chiaramente, $(x_0 +r/2,y_0,z_0) \in B(t,r)$

Quindi, abbiamo $a(x_0 + r/2) + by_0 + cz_0 = d $

e $ax_0 + by_0 + cz_0 = d$ , sottraendo questi due ottengo:

$a(r/2) = 0$, o $a =0$

Allo stesso modo prendo $(x_0,y_0+r/2,z_0) \in B(t,r)$ $(x_0,y_0,z_0+r/2) \in B(t,r)$ ottenere $b =c =0$

Quindi, se Interior of $U$ non è vuoto il piano si riduce a un punto $\{0\}$e questo set è chiuso con interni vuoti.

La mia prova è corretta? Si prega di indicare se ci sono errori nei miei argomenti.

Grazie.

Answer 1

È quasi corretto, ma alla fine c'è un problema. Dopo averlo dimostrato$a=b=c=0$, hai scritto che "l'aereo si riduce al pont $\{0\}$“. Non proprio. La conclusione è che l'aereo è definito dall'espressione$0=d$. Ma questo è il set vuoto (se$d\ne0$) o l'intero spazio (se $d=0$). Dal momento che presumi di lavorare con un piano, hai raggiunto una contraddizione.

Oppure puoi dire dall'inizio che un aereo è un sottoinsieme di $\Bbb R^3$ della forma$$\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid ax+by+cz=d\},$$dove $a,b,c,d\in\Bbb R$ e i numeri $a$, $b$, e $c$ non sono tutti uguali a $0$(questa è la definizione naturale, secondo me). In questo modo, ottieni una contraddizione in un modo leggermente diverso.

Answer 2

Solo un altro modo

Dato che non risponde alla domanda, volevo metterlo come commento, ma non c'è abbastanza spazio. Spero che vada bene per la comunità

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Supponiamo che WLOG $d=0$. Permettere$U=\text{Span}\{u,v\}$ e $w$ st $\mathbb R^3=\text{Span}\{u,v,w\}$. Prendere$t\in U$. Allora, se$\varepsilon >0$, $$t+\frac{\varepsilon }{2}w\in B(t,\varepsilon )\cap U^c\quad \text{and}\quad t+\frac{\varepsilon }{2}u\in B(t,\varepsilon )\cap U.$$ Perciò, $t\in \partial U$ (dove $\partial U$ denota il confine di $U$).

Da $t\in U $ non è specificato, lo abbiamo dimostrato $U\subset \partial U$. Perciò$\text{Int}(U)=\varnothing $.