Interpretazione dei modi normali dalla formula matematica

Question

Nell'argomento delle piccole oscillazioni, il sistema seguente ha una modalità normale descritta da:

$$n_{1} = \frac{x1+x2}{2}.$$

Questa modalità normale è rappresentata come modalità simmetrica:

In quel caso, il centro di massa si muove come un semplice oscillatore armonico. Tuttavia, l'immagine mostra anche che entrambi iniziano nelle stesse condizioni iniziali e si muovono in fase. La mia domanda è dove si trovano queste informazioni sulla coordinata normale$n_{1}$poiché non riesco a mettere in relazione la modalità normale con l'immagine che la rappresenta. Dove dice che i blocchi devono essere allungati alla stessa distanza nella stessa direzione nella formula della coordinata normale?

Answer 1

Dovresti notare che l'altra coordinata normale deve essere fissata a zero mentre consideri il movimento lungo la coordinata normale $n_1$.

Le coordinate normali di due particelle (o blocchi in questo caso) possono generalmente essere scritte come \begin{align} n_1 =& a_{11} x_1 + a_{12} x_2, \\ n_2 =& a_{21} x_1 + a_{22} x_2.\label{eq: n1n2}\tag{1} \end{align} Nel tuo caso specifico, $a_{11}=1/2$ e $a_{12} =1/2$. Non ho calcolato$a_{21}$ e $a_{22}$, ma dovresti essere in grado di farlo secondo la definizione delle modalità normali.

La serie di equazioni sopra può essere risolta per $x_1$ e $x_2$ nella forma di \begin{align} x_1 =& b_{11} n_1 + b_{12} n_2, \\ x_2 =& b_{21} n_1 + b_{22} n_2, \label{eq: x1x2}\tag{2} \end{align} dove $b_{ij}$ sono determinati da $a_{ij}$. Infatti, scrivendo i set di equazioni sopra riportati per matrici e vettori, puoi confermare che \ begin {equation} \ begin {pmatrix} b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {pmatrix} ^ {- 1}, \ end {equation} dove$A^{-1}$ indica la matrice inversa di una matrice $A$.

Il primo insieme di equazioni (\ ref {eq: n1n2}) fornisce la trasformazione delle coordinate dalle coordinate $(x_1,x_2)$ che era conveniente per la tua misurazione e altre operazioni alle coordinate normali $(n_1,n_2)$ciò è conveniente per il calcolo e per qualche tipo di interpretazione associata al calcolo. Il secondo insieme (\ ref {eq: x1x2}) fornisce la trasformazione inversa. Cioè, una volta calcolata l'evoluzione temporale$n_1(t)$ e $n_2(t)$ individualmente risolvendo le equazioni differenziali, è possibile prevedere il moto $x_1(t)$ e $x_2(t)$ delle rispettive particelle da (\ ref {eq: x1x2}).

Le equazioni differenziali per le coordinate normali sono \ begin {equation} \ frac {d ^ 2 n_i} {dt ^ 2} = - \ omega_i ^ 2 n_i (t), \ end {equation} per$i=1,2$, dove $\omega_i^2$ sono costanti, fintanto che la forza che agisce sul blocco $l$ è della forma $F_l = - \sum_j c_{lj} x_j$ con alcune costanti $c_{lj}$come nel caso del tuo problema. La funzione,$n_2(t) = 0$ per tutti $t$, è una soluzione valida per questa equazione per la condizione iniziale, $n_2(0) =0$ e $[dn_2/dt](0) =0$. Supponiamo che questa condizione sia soddisfatta tramite (\ ref {eq: n1n2}) da particolari valori di$x_j(0)$ e $[dx_j/dt](0)$ ($j=1,2$) che sono preparati mettendo le mani sul sistema molla e massa a $t=0$. Questi$x_j(0)$ e $[dx_j/dt](0)$ ($j=1,2$) determinano anche i valori iniziali di $n_1(0)$ e $[dn_1/dt](0)$e quindi fornire una soluzione particolare $n_1(t)$dell'equazione differenziale sopra. Con questo$n_1(t)$ e $n_2(t) =0$, attraverso (\ ref {eq: x1x2}), il movimento dei blocchi è visto come \begin{align} x_1(t) =& b_{11} n_1(t), \\ x_2(t) =& b_{21} n_1(t). \end{align} Se $b_{11} =b_{21}$, poi $x_1(t) =x_2(t)$, cioè, il movimento dei due blocchi è lo stesso. Dovresti essere in grado di vederlo effettivamente$b_{11} = b_{21}$ per il tuo sistema.

Answer 2

I) Equazioni del moto

Energia cinetica :

$$T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2_1+\dot{x}_2^2\right)$$

Energia potenziale

$$U=\frac{k}{2}\left(x_1^2+(x_2-x_1)^2+x_2^2\right)$$

con Euler Langrage ottieni:

$${\ddot x}_{{1}}+{\frac {2\,kx_{{1}}-kx_{{2}}}{m}}=0\tag 1$$

$${\ddot x}_{{2}}+{\frac {2\,kx_{{2}}-kx_{{1}}}{m}}=0\tag 2$$

II) Equazioni del moto: modalità normale

Nello spazio normale le equazioni del moto saranno:

$$\ddot n_1+\omega_1^2\,n_1=0\tag 3$$ $$\ddot n_2+\omega_2^2\,n_2=0\tag 4$$

per ottenere le equazioni (3) e (4) dobbiamo trasformare le coordinate $~x_1~,x_2$ per $~n_1~,n_2$

questo può essere fatto con queste equazioni

$$n_1=\frac 12(x_1+x_2)$$ $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$ $\Rightarrow~$ $$x_1=n_1+n_2$$ $$x_2=n_1-n_2$$

con questa trasformazione ottieni:

$$\ddot n_1+\frac km\,n_1=0\tag 5$$ $$\ddot n_2+\frac{3\,k}{m}\,n_2=0\tag 6$$

Nota:

ottieni la stessa equazione dei risultati $(~5~,6~)$se ottieni questa trasformazione:

la coordinata del centro di massa per n_1:

$$n_1=\frac{m\,(x_1+x_2)}{2\,m}=\frac 12(x_1+x_2)$$ e $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$