(Iper) volume del demi (iper) cubo
Il demihypercube si forma prendendo lo scafo convesso dell'insieme di punti$\{0, 1\}^n$ con un numero pari di $1$S. Può essere pensato come prendere un ipercubo e tagliare "ogni altro" vertice.
Esempi
Ad esempio, il file $3$-demihypercube (che è anche un tetraedro regolare) può essere descritto con i vertici $(0,0,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, e $(1,1,0)$.
Il $4$-demicube è il file $16$-cell .
Domanda
Qual è l'ipervolume del demihypercube in questa costruzione?
(Non sono riuscito a trovare queste informazioni su Wikipedia o altrove, e ne sono curioso in parte perché si riferisce alla mia domanda "https://math.stackexchange.com/q/3813522/121988".)
Risposte
Questo potrebbe essere un approccio ingenuo.
Il semicubo è il cubo ma, come hai detto, con $2^n/2=2^{n-1}$dei suoi vertici "tagliati". Quanto interrompiamo ogni volta? Tagliamo un simplex attraversato dai vettori di base standard$e_1,...,e_n$, il cui volume è $1/n!$.
Quindi il semicubo (costruito dal cubo di lunghezza del bordo 1) dovrebbe avere volume
$$V_n = 1-\frac{2^{n-1}}{n!}.$$
Non è esattamente quello che hai ottenuto nella tua risposta. Ma forse la differenza riguarda solo la scala del cubo iniziale.
Come ha commentato Jean Marie , la formula appare in fondo a pagina 26 nel documento "Il prodotto in volume di corpi convessi con molte simmetrie iperpiane" di Franck Barthe e Matthieu Fradelizi:
Il demihypercube si ottiene dal cubo tagliandolo $2^{n-1}$ semplicies i cui vertici sono un vertice $x \in \{-1; 1\}^n$ del cubo tale che $\prod x_i = -1$ e la sua $n$vicinato. Hanno un angolo retto a$x$ e la lunghezza dei bordi attraverso questo vertice sono $2$ così $$ |DH_n| = 2^n - 2^{n-1} \times \frac{2^n}{n!} = 2^n\left(1 - \frac{2^{n-1}}{n!}\right). $$
Nota, gli autori definiscono il demihypercube sullo scafo convesso di punti con coordinate di $\{-1, 1\}$, quindi per ottenere il volume della costruzione nella domanda, dividere per un fattore di $2^n$, cedendo $$ 1 - \frac{2^{n-1}}{n!}. $$
Modifica: la citazione originale che avevo preso dalla carta dava il volume del prodotto , non il volume come avevo chiesto nella domanda. Questa risposta è stata corretta per riflettere questo.