Isotopia e isotopia ambientale

Question

Nella nota della lezione del mio corso di teoria dei nodi, c'è una spiegazione molto breve del perché abbiamo bisogno dell'isotopia ambientale invece dell'isotopia. Utilizza la figura seguente per illustrare senza alcuna spiegazione. Non capisco perché va bene fare in modo che un nodo diventi unknot quando è isotopia, ma non va bene quando è isotopia ambientale. Qualcuno sa dare una spiegazione intuitiva?

Riferimento

Answer 1

L'idea del diagramma è dimostrare che l'isotopia tra due incorporamenti è una nozione errata di equivalenza dei nodi. Nota che un nodo è un incorporamento:

$k:S^1\to \mathbb{R}^3$ (o più convenientemente $\mathbb{S^3}$)

Dati due nodi (incorporamenti) $k_0$ e $k_1$, possiamo costruire un'isotopia di incorporamenti:

$k_t:S^1\times [0,1] \to S^3$

tale che per ciascuno $t\in [0,1]$, $k_t$ è un incorporamento.

Per ogni nodo addomesticato possiamo costruire un'isotopia che intuitivamente "tira" la parte annodata di un nodo verso il basso fino a un punto (come nella foto). Per ogni$t<1$ il nodo non si interseca da solo, e per $t=1$l'incorporamento è quello dello unknot e quindi non autointersecante. Pertanto, la mappa descritta è un'isotopia di incorporamenti. Tuttavia, questa mappa non è differenziabile (liscia)$t=1$. Per evitare di rendere equivalenti tutti i nodi addomesticati, viene adottata una misura di equivalenza più sensibile in cui l'isotopia degli incastri è liscia.

Per conciliare questo con la definizione standard di equivalenza dei nodi tramite isotopia ambientale, si dovrebbe notare che qualsiasi isotopia liscia degli incastri si solleva a un'isotopia ambientale.