L'ameba taglie forti scappa

Question

Come estensione alla domanda di @WhatsUp qui , le cui regole sono incluse di seguito, con le seguenti differenze:

In una delle piazze vive un'ameba (contrassegnata da un cerchio nelle immagini seguenti).

In alcuni quadrati ci sono delle amebe (contrassegnate come verde / giallo nella figura seguente).

Sulla griglia c'è una regione chiamata "la prigione" (dipinta di grigio nelle immagini seguenti).

Qui "la prigione" è composta da tutti i quadrati gialli e verdi.

1. Se il quadrato giallastro più in basso non è occupato, le amebe possono scappare? Quanto è difficile?

2. La notte prima che la loro fuga venga lanciata, la cella gialla si riempie di una nuova ameba prigioniera (tutti i gialli e i verdi sono considerati pieni), cosa possono fare adesso?

Riferimento

C'è una griglia infinita di quadrati.

In una delle piazze vive un'ameba (contrassegnata da un cerchio nelle immagini seguenti).

Le amebe non possono muoversi, ma possono svolgere la loro azione unica: un'ameba può dividersi in due amebe, identiche a quella originale, e ognuna occuperà una casella che è (ortogonalmente) adiacente alla casella originale.

Poiché ogni quadrato può ospitare solo un'ameba, una divisione può avvenire solo quando l'ameba ha almeno due quadrati vuoti adiacenti (se ce ne sono più di due, può scegliere liberamente in quali quadrati dividere). Inoltre, due amebe non dovrebbero dividersi contemporaneamente, in modo che non si verifichi alcun conflitto.

Sulla griglia c'è una regione chiamata "la prigione" (dipinta di grigio nelle immagini seguenti). Lo scopo è lasciare che le amebe fuggano dalla prigione, cioè raggiungere uno stato in cui nessuna ameba si trova nella prigione.

Answer 1

Risposta a Q2. Come sottolinea @Milo Brandt in un commento al Q a cui si fa riferimento, esiste la seguente metà invariante:

Metti le coordinate intere sulla griglia con (0,0) come centro della croce. Peso quadrato (n, m) di$2^{-\lvert n \rvert - \lvert m \rvert}$. Quindi si può facilmente verificarlo

1. il peso dell'intera tavola (infinita) è 9 (vedi figura)
e
2. il peso dei quadrati occupati dall'ameba non scende mai.

Poiché il peso dell'intera croce è $4\frac 1 2$ che è uguale al peso del suo (infinito) complemento, l'ameba non può sfuggire in un numero finito di mosse.