La commutatività di $I$e $Y$in un codice stabilizzatore

Question

Permettere$P_1 = \lbrace I, -I, iI, -iI, X, -X, iX, -iX, Y, -Y, iY, -iY, Z, -Z, iZ, -iZ\rbrace$. Permettere$P_n$essere il$n$-piega tensoriale di$P_1$. Si dice che due operatori fanno il pendolare se$AB = BA$o anti-pendolarismo se$AB = -BA$per tutti$A,B \in P_n$.

Facciamolo$n=1$e$A=I$e$B=Y$, Poi abbiamo:

\begin{align*} IY &\stackrel{\text{true}}{=} YI,\\ IY &\stackrel{\text{true}}{=} -YI. \end{align*}

In altre parole,$I$e$Y$sia pendolari che anti-pendolarismo. Ho anche aggiunto uno snippet di codice matlab per completezza.

I = [1 0; 0 1];
Y = [0 -i;i  0];
if isequal(I*Y,Y*I)
   disp('commute') 
end
if isequal(I*Y,-Y*I)
   disp('ANTI-commute') 
end

Mi riferisco alla tesi di dottorato di Daniel Gottesman .

Cosa mi sto perdendo?

Modifica: il mio codice Matlab dovrebbe eseguire solo una delle istruzioni if ​​(non entrambe). Sembra che la mia macchina stesse memorizzando nella cache le risposte di prima. Un riavvio del programma ha risolto il problema.

Answer 1

Dovrebbe essere$IY \ne - YI$invece di$IY = - YI$.$$IY \ne - YI \\ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \\ Y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} = -Y $$

Così$I$e$Y$non anti-pendolarismo. Inoltre$I$anti-commuta solo con la matrice con tutto$0$inserimenti. Anche,$I$commuta con tutte le matrici, perché dalla definizione$IM = M = MI$, dove$M$è una matrice casuale.

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Al contrario tutte le coppie da$\{X, Y, Z \}$anti-pendolarismo tra loro. Come esempio:

$$\{X Z \} = XZ + ZX = 0$$

perché$XZ = -ZX$. Inoltre, abbiamo relazioni thess:$XY = -YX$e$YZ = -ZY$da cui possiamo concludere$\{XY\} = \{ZY\} = 0$.