La differenza tra "Per tutti" e "Per un arbitrario"

Question

In molti testi matematici, ho notato che il quantificatore "Per tutti" e la frase "Per un arbitrario" sono usati in modo intercambiabile, e li ho sempre considerati sinonimi, poiché entrambi indicano che l'affermazione immediatamente successiva è vera per qualsiasi elemento in un insieme particolare.

Tuttavia, di recente ho trovato un libro di testo che dice "Per tutti" è più spesso usato in una definizione e "Per un arbitrario" dovrebbe essere inserito all'inizio delle prove. Questi termini non sono identici? In caso affermativo, quali sono le loro differenze?

Il testo seguente è tratto da pagina 45 di Stephen Abbott, Understanding analysis (Vol.11)

Imparare a scrivere una prova di convergenza grammaticalmente corretta va di pari passo con una profonda comprensione del motivo per cui i quantificatori compaiono nell'ordine in cui compaiono. La definizione inizia con la frase: “ Per ogni e> 0 , esiste N ∈ N tale che. . . "Guardando indietro al nostro primo esempio, vediamo che la nostra dimostrazione formale inizia con" Sia e> 0 un numero positivo arbitrario ". Segue una costruzione di N e quindi una dimostrazione che questa scelta di N ha la proprietà desiderata. Questo, infatti, è uno schema di base per come dovrebbe essere presentata ogni prova di convergenza. Modello per una prova che (xn) → x:

• " Sia e> 0 arbitrario ."
• Dimostrare una scelta per N ∈ N. Questo passaggio di solito richiede la maggior parte del lavoro, quasi tutto prima di scrivere effettivamente la prova formale.
• Ora, mostra che N funziona davvero.
• "Supponiamo n ≥ N."
• Con N ben scelto, dovrebbe essere possibile derivare la disuguaglianza | xn - x | <.

Answer 1

Se una proprietà P è vera "per qualche elemento arbitrario" in un dato insieme, allora sarà vero "per tutti" gli elementi nell'insieme e viceversa, quindi sono identici nel senso che trasmettono lo stesso significato. Ora diciamo che qualcuno ti ha detto che la proprietà P è vera per alcuni set A. beh, cosa farai per dimostrargli che si sbaglia, trova solo qualche elemento che non soddisfa quella proprietà e il gioco è fatto. Questo è ciò che viene fatto anche per provare la proprietà, ma invece di trovare un elemento che non soddisfa una proprietà, abbiamo scelto un elemento arbitrario di un insieme e abbiamo dimostrato che l'elemento arbitrario scelto soddisfa la proprietà e il gioco è fatto. Poiché l'elemento è scelto "arbitrariamente", verrà applicato a ogni elemento. Quindi è solo che la letteratura è diversa quando vuoi affermare la definizione e quando vuoi dimostrare formalmente qualcosa, ma trasmettono lo stesso significato.