La sequenza intera A178157

Question

http://oeis.org/A178157

A178157 è una sequenza numerica che descrive i numeri divisibili per tutti i loro prefissi. Ad esempio, 2020 è nella sequenza perché 2020 è divisibile per 2, 20 e 202, (e 2020). Tuttavia, ho notato che dopo 100 tutti i numeri nella sequenza finiscono con uno zero. Quindi la mia domanda è: c'è un numero nella sequenza A178157 maggiore di 100 che non finisce con uno zero?

I miei progressi:

Un mio amico ha scritto un codice e ha controllato tutti i numeri fino a 100 milioni senza fortuna. C'è qualche prova che tutti i numeri maggiori di 100 in questa sequenza debbano terminare con uno zero?

L'unico indizio a cui potevo pensare per provare a provare era che il numero non doveva contenere zeri perché ci sarebbe stato un suffisso che termina con uno zero.

È interessante notare che esiste una sequenza simile, A178158, che guarda i suffissi invece dei prefissi, e ci sono molti numeri grandi nella sequenza che non contengono zero, ad esempio 53125 è divisibile per 5, 25, 125, 3125 , (e 53125). Nessuno dei numeri in questa sequenza termina con uno zero, il che è molto più facile da dimostrare, poiché il primo prefisso è zero e non puoi dividere per zero.

Answer 1

La risposta è che qualsiasi numero di tre o più cifre deve terminare con $0.$

Se $n\geq 10$ quindi per $10n+d$ essere divisibile per $n,$ Tu devi avere $d$ divisibile per $n.$ Ma se $d$ è una cifra, quindi $0\leq d<10\leq n,$ quindi l'unico possibile $d$ è $0.$

Questo argomento funziona in qualsiasi base.

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Come ha detto Ross nei commenti, se il numero lo ha $2k+1,$ o più cifre, deve terminare con $k$ zeri.

Questo può essere visto da un argomento simile o usando base $10^k,$ notando che qualsiasi numero che soddisfa la proprietà per base $10$ è anche un numero per base $10^k,$ e un numero con $2k+1$ o più cifre in base $10$ è $3$ o più cifre in base $10^k.$

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Non correlato alla domanda, ma dato un numero di questo tipo, non solo possiamo aggiungere zeri alla fine, ma possiamo anche aggiungere zeri subito prima dell'ultima cifra diversa da zero. Cioè, se$$n=d_1d_2d_3\dots d_k\underbrace{0\dots0}_{p\text{ times}}$$ quindi possiamo trovare un numero diverso da zero di $0$ da aggiungere tra $d_{k-1}$ e $d_k.$

In particolare, $$n_1=d_1\dots d_{k-1}\underbrace{0\dots 0}_{m\text{ times}} d_k$$ poi $$10^{m+1}n-n_1=d_k(10^{m+1}-1)\cdot 10^p$$

Ora se $f(N)$ è il numero di $N$ con tutti i fattori di $2$ e $5$ rimosso, puoi definire $$D=\operatorname{lcm}\left(f(d_1),f(d_1d_2),\cdots,f(d_1d_2\dots d_{k-1})\right)$$

Quindi puoi definire $m$ essere uno in meno nell'ordine di $10$ modulo $D.$

Ad esempio, con $n=14490000$ hai $$\operatorname{lcm}\left(f(1),f(14),f(144)\right)=\operatorname{lcm}(1,7,9)=63.$$

L'ordine di $10$ mod $9$ è $1,$ quindi hai solo bisogno dell'ordine di $10$ mod $7,$ e questo è $6$, e $m$ è $5.$ Poi:

$$144000009\cdot 10^9$$

Devi anche riempire il lato destro con zeri.