Limite entro un limite

Question

Ehi, qualcuno può mostrarmi una procedura passo passo per dimostrare che quanto segue è possibile. Non riesco a capire come ridurre un limite entro un limite a un singolo limite e la sostituzione della variabile "a" e "b" con "c"

(Qualcuno ha menzionato i limiti ripetuti ma non sono sicuro di come dimostrarlo esattamente)

$$\lim_{a\to 0}\dfrac{\lim\limits_{b\to 0}\dfrac{{f(x+a+b)-2f(x+b)+f(x)}}{b}}{a}=\lim_{c\to 0}\frac{{{f(x+2c)-2f(x+c)+f(x)}}}{c^2}$$

Questa idea viene utilizzata per dimostrare il derivato di Grunwald-Letkinov (https://en.wikipedia.org/wiki/GrünwaldLetnikov_derivative) e hanno affermato che questo passaggio viene eseguito assumendo che sia "a" che "b" convergono in modo sincrono e possono essere giustificati da MVT. Se possibile, potresti spiegarlo? e come dovrei usare MVT per giustificare questo.

Answer 1

Puoi riscrivere il numeratore superiore come e assumendo $f$ è quindi derivabile:

$\underbrace{\dfrac{f(x+a+b)-f(x+a)}b}_{\to f'(x+a)}-2\underbrace{\dfrac{f(x+b)-f(x)}b}_{\to f'(x)}+\underbrace{\dfrac{f(x+a)-f(x)}b}_{\to\infty}$

Quindi a meno che $f$ è costante, l'ultimo termine diverge da quando prendi il $\lim\limits_{b\to 0}$ prima nell'espressione originale, quindi non credo che questa sia un'espressione ben formata.

Nota: puoi provare ad applicare a $f(x)=x$

Avrebbe più senso sostituire $-2f(x+b)$ di $-f(x+b)-f(x+a)$ e confrontandolo con $f''(x)$.