logaritmo di numero complesso

Question

Generalmente per i logaritmi, se ce l'ho $2^4=16$ allora significa $\log_2(16)=4$ (Qui 2 è la base)

Quindi il valore del logaritmo ci dice fondamentalmente quante volte moltiplicare la base per il numero.

Quando prendiamo ln significa semplicemente che la base è e

Ora inizia la mia domanda

Qual è il logaritmo del numero complesso?

Ho pensato poiché il logaritmo ci dice quante volte moltiplicare la base. Se prendessi il logaritmo otterrei numeri reali Perché non importa il numero se i numeri reali vengono moltiplicati, la risposta è reale.

Ma il libro che ho dice è complesso, ha persino una derivazione per esso.

Qualcuno può spiegare logaritmi di numeri complessi relativi al reale o almeno condividere alcune risorse?

Grazie

Answer 1

Notare che un numero complesso $z$ può essere scritto come $$z=|z|e^{i\theta}$$

Dove $|x|$ indica il modulo di $x$

Quindi il logaritmo di $z$ sarebbe

$$z=|z|e^{i\theta}\\ \log z=\log (|z|e^{i\theta})\\ \log z= \log{|z|+\log{e^{i\theta}}}\\ \log{z}=\log{|z|}+i\theta$$

Per il calcolo di $|z|$possiamo semplicemente usare il teorema di Pitagore. Per il calcolo di$\theta$ possiamo usare il $\arctan \theta$poiché conosciamo sia il lato adiacente che quello opposto. Notare che$\theta$ non è solo una soluzione, perché $\tan{(\theta+2\pi n)}= \tan{\theta}$, quindi in realtà otteniamo un ramo di soluzioni. Nonostante ciò, di solito usiamo solo quello principale, che è quello appartenente al set$(-\pi,\pi]$