Mappature e immersioni a rango costanti

Question

Giusto per essere chiari: gli oggetti di cui stiamo parlando qui sono lisci ($C^\infty$) varietà (senza confine) e la sommersione è definita come una mappa tra varietà, che ha rango costante uguale alla dimensione del codominio.

Mentre cercavo di fare un esercizio mi sono imbattuto nell'idea che "la sommersione è localmente una proiezione e quindi una mappa aperta". Questa idea non è il problema. Il "problema" è il teorema che afferma quanto segue:

Permettere $M$ e $N$ essere collettori lisci, $dim M=m$, $dim N=n$, e lascia $f:M\to N$ essere una mappatura fluida di un rango costante $r$. Per ogni$p\in M$ c'è un grafico (liscio) $(U, \varphi)$ a $p$ e grafico $(V, \psi)$ a $f(p)$, tale che $f(U)\subset V$ e tale che $f$ ha una rappresentazione coordinata $$\psi \circ f \circ \varphi ^{-1} (x_1,\ldots ,x_r,x_{r+1}, \ldots ,x_m)=(x_1,\ldots ,x_r,0,\ldots ,0)$$

Questo non significa che ogni mappatura costante dei ranghi, non solo le immersioni, sia localmente una proiezione? Mi sembra di aver completamente frainteso l'idea di "essere localmente una proiezione", perché dovrebbe essere qualcosa che è molto caratteristico delle immersioni. Inoltre, se ogni mappatura del rango costante è localmente una proiezione, ciò significherebbe che non ci sono mappature del rango costante dalle varietà compatte allo spazio euclideo.

Quindi, la mia domanda è: cosa intendono le persone quando dicono che "la sommersione è localmente una proiezione"?

Answer 1

Questa forma locale $(x_1,\ldots, x_r,x_{r+1},\ldots, x_m)\to (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots,0)$è scritto in modo leggermente fuorviante. Se esaminiamo alcuni casi particolari, possiamo vedere che queste mappe non sono tutte "proiezioni" nel senso che intendi. Se$m\ge n=r$, abbiamo che la mappa è della forma $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto(x_1,\ldots, x_r)$$ed è effettivamente una proiezione in buona fede a livello locale. Se$m\ge n>r$, quindi l'aspetto della mappa $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto (x_1,\ldots,x_r)\mapsto (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots,0)$$e quindi una composizione di una proiezione e quindi un'inclusione. Nel caso in cui$r=m\le n$, questa mappa diventa $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto(x_1,\ldots, x_m,0,\ldots, 0)$$che è un'inclusione . Se$r<m\le n$, noi abbiamo $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto (x_1,\ldots, x_m,0,\ldots,0)\mapsto (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots, 0)$$ che è composizione di un'inclusione e di una proiezione.

La morale della storia è che ci sono alcuni comportamenti diversi. Ad esempio, prendi l'inclusione di$S^2\hookrightarrow \Bbb{R}^3$. Questa è una classifica costante$2$ map, quindi il teorema ci dice che localmente assomiglia $(x_1,x_2)\mapsto (x_1,x_2,0)$. Cioè a livello locale è un'inclusione standard. È un esempio di inclusione di una varietà compatta nello spazio euclideo e non contraddice il teorema.