Mappe tra oggetti colimit

Question

Permettere$\lbrace A_i \rbrace_{i\in I}$e$\lbrace B_j \rbrace_{j\in J}$essere due diagrammi in una categoria$\mathcal{C}$. Permettere$A=\text{colim}_{i\in I} A_i$e$B= \text{colim}_{j\in J} B_j$. Date due mappe$f,g: A\rightarrow B$, assumendo che il coequalizzatore$C$esiste, può$C$essere presentato in termini di collimit di un diagramma che consiste di oggetti$A_i$e$B_j$?

Answer 1

È una congettura allettante ma falsa! Lascia che tutto il$A_i$e$B_i$essere copie di$\mathbb{Z}$nella categoria$\text{Ab}$di gruppi abeliani e lascia che entrambi i colimit siano coprodotti. Quindi ogni gruppo abeliano si presenta come un coequalizzatore di una coppia di mappe tra tali coprodotti (questo dice esattamente che ogni gruppo abeliano ha una presentazione) ma non tutti i gruppi abeliani si presentano come un colimit di copie di$\mathbb{Z}$. Qualche tempo fa ho posto esattamente questa domanda su MathOverflow e ho ricevuto una risposta negativa molto istruttiva.

Answer 2

Fammi cambiare notazione. Permettere$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$e$Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$siate funtori, lasciate$\mathcal{D}$essere la sottocategoria completa di$\mathcal{C}$attraversato dalle immagini di$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$e$Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$, e lascia$\bar{X} = \varinjlim_\mathcal{I} h_X$e$\bar{Y} = \varinjlim_\mathcal{J} h_Y$in$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, dove definiamo$h_T (S) = \mathcal{C} (S, T)$. Quindi,$$\textstyle [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}](\bar{X}, \bar{Y}) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y)$$quindi un morfismo$f : \bar{X} \to \bar{Y}$può essere scomposto in una famiglia di morfismi$X (i) \to Y (j_i)$indicizzato da$i \in \operatorname{ob} \mathcal{I}$, modulo una certa relazione di equivalenza. D'altra parte, anche se$X$e$Y$avere colimits in$\mathcal{C}$, al massimo possiamo solo dire$$\textstyle \mathcal{C} \left( \varinjlim_\mathcal{I} X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$e sebbene esista una mappa di confronto canonica$$\textstyle \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y) \to \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$generalmente non è una biiezione.

Se – questo è un grande se – la coppia parallela$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$in$\mathcal{C}$che ti interessa può essere sollevato attraverso questa mappa di confronto, quindi il loro coequalizzatore è un colimit di un diagramma costruito da$X$e$Y$.

Infatti, lasciate$f_0, f_1 : \bar{X} \to \bar{Y}$essere morfismi in$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Quindi possiamo formare il loro coequalizzatore$\bar{Z}$in$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. C'è un diagramma canonico$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$il cui limite in$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$è$\bar{Z}$. esplicitamente,$\textbf{El} (\bar{Z})$è la seguente categoria:

• Gli oggetti dentro$\textbf{El} (\bar{Z})$sono coppie$(D, z)$dove$D$è un oggetto dentro$\mathcal{D}$e$z$è un elemento di$\bar{Z} (C)$.
• I morfismi$(D, z) \to (D', z')$in$\mathcal{K}$sono i morfismi$g : D \to D'$in$\mathcal{D}$tale che$z' \cdot g = z$.
• La composizione è ereditata da$\mathcal{D}$.

C'è una proiezione evidente$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ed è facile verificarlo$\bar{Z} \cong \varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} h_R$. Rivendico:$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$è il coequalizzatore di$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$in$\mathcal{C}$, nel senso forte che$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$esiste in$\mathcal{C}$se e solo se il coequalizzatore esiste in$\mathcal{C}$e sono isomorfi.

Permettere$\bar{\mathcal{D}}$essere la sottocategoria completa di$\mathcal{C}$attraversato dagli oggetti$C$in$\mathcal{C}$tale che, per ogni oggetto$T$in$\mathcal{C}$, la mappa canonica (indotta dalla restrizione dell'incorporamento di Yoneda)$$\mathcal{C} (C, T) \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] (h_C, h_T)$$è una biiezione. Ce lo dice il solito lemma di Yoneda$\mathcal{D} \subseteq \bar{\mathcal{D}}$, ma, per qualsiasi diagramma$Z : \mathcal{K} \to \bar{\mathcal{D}}$,$$\textstyle \varprojlim_\mathcal{K} \mathcal{C} \left( Z, T \right) \cong \varprojlim_\mathcal{K} [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( h_Z, h_T \right) \cong [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( \varinjlim_\mathcal{K} h_Z, h_T \right)$$naturalmente dentro$T$, quindi se$\varinjlim_\mathcal{K} Z$esiste in$\mathcal{C}$allora è anche dentro$\bar{\mathcal{D}}$- in breve,$\bar{\mathcal{D}}$è chiuso sotto colimits che esistono in$\mathcal{C}$. In particolare,$\varinjlim_\mathcal{I} X$e$\varinjlim_\mathcal{J} Y$sono dentro$\bar{\mathcal{D}}$, e se la coppia parallela$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$in$\mathcal{C}$ha un coequalizzatore rispetto a quello in cui si trova anche il coequalizzatore$\bar{\mathcal{D}}$. In sostanza, la definizione di$\bar{\mathcal{D}}$assicura che tutto ciò che può essere dimostrato sui colimits iterati in$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$è vero anche in$\mathcal{C}$, purché tutti i colimits coinvolti possano essere realizzati in$\bar{\mathcal{D}}$. Quindi, se la coppia parallela$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$in$\mathcal{C}$può essere sollevato a una coppia parallela$\bar{X} \rightrightarrows \bar{Y}$in$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, quindi il coequalizzatore in$\mathcal{C}$può essere identificato con il colimit in$\mathcal{C}$di un diagramma in$\mathcal{D}$.

Può valere la pena notare che la rappresentazione di Yoneda$\bar{\mathcal{D}} \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$può non essere né pienamente fedele né preservare colimits... ma questo è solo riformulare l'avvertimento nel primo paragrafo.