Massimo sottomodulo libero su un PID

Question

Sia M un modulo fg su un pid e T (M) il suo sottomodulo di torsione. Allora M è la somma diretta di T (M) e di un sottomodulo libero F , unico fino all'isomorfismo, e inoltre che è un sottomodulo libero massimale. Al contrario, sia F un sottomodulo libero massimale di M (che è una condizione più forte dell'essere di rango massimale). È vero che F è un sommando diretto, quindi M è la somma diretta di T (M) e F ?

Answer 1

L'affermazione è falsa in generale, come illustreremo di seguito con un controesempio. Prima di passare a due osservazioni chiave sono necessarie:

1. come ho accennato di sfuggita in un commento alla domanda originale, c'è identità tra la raccolta di sottomoduli di $M$ che si intersecano $\mathrm{T}(M)$banalmente e la raccolta di sottomoduli gratuiti. Chiaramente, se$N \leqslant_A M$ è gratuito allora $N \cap \mathrm{T}(M)=\mathrm{T}(N)=\{0_M\}$, poiché i moduli liberi su domini integrali (commutativi) sono privi di torsione. D'altra parte, per lo stesso motivo qualsiasi sottomodulo$N$ che interseca banalmente il sottomodulo di torsione deve essere esso stesso privo di torsione. $M$ essendo finitamente generato sull'anello noetheriano $A$ significa che $M$ stesso è un modulo noetheriano, con la conseguenza che in particolare $N$è finitamente generato. Dal momento che qualsiasi torsionless finitamente generato$A$-modulo è gratuito, $N$è in particolare gratuito. Il problema può quindi essere riformulato analizzando l'eventuale sottomodulo$N$ massimo tra quelli che si intersecano $\mathrm{T}(M)$ banalmente è un sommario diretto oppure no.
2. supponendo che il sottomodulo $L \leqslant_A M$è massimo libero e allo stesso tempo un sommario diretto, si noti che ha un unico supplementare, cioè il sottomodulo di torsione. Considera anzi un supplemento arbitrario$P$ di $L$. Senza prove citiamo un risultato molto generale:

Lemma. Permettere$A$ essere un anello arbitrario, $S \leqslant_{\mathrm{Mon}} \mathrm{Z}(A)$una centrale sistema moltiplicativo$A$, $M$una sinistra $A$-modulo, $I$ un insieme di indici arbitrari e $N \in \mathscr{S}_{\operatorname{\mathit{A}-\mathrm{Mod}}}(M)^I$una famiglia di sottomoduli la cui somma (interna) è diretta. Dato qualsiasi famiglia$P \in \displaystyle\prod_{i \in I}\mathscr{S}_{\operatorname{\mathit{A}-\mathrm{Mod}}}(N_i)$ di sottomoduli, la seguente relazione vale tra $S$-saturazioni: $$\mathrm{Sat}_S\left(\sum_{i \in I}P_i\right)=\sum_{i \in I}\left(\mathrm{Sat}_S(P_i) \cap N_i\right)$$

e applicare questo risultato al caso particolare dei sottomoduli $\{0_M\} \leqslant_A L$ rispettivamente $\{0_M\} \leqslant_A P$ e sistema moltiplicativo $A^{\times}\colon=A \setminus \{0_A\}$, dando la conclusione che $\mathrm{T}(M)=\mathrm{Sat}_{A^{\times}}\left(\{0_M\}\right)=\left(\mathrm{Sat}_{A^{\times}}\left(\{0_M\}\right) \cap L\right)+\left(\mathrm{Sat}_{A^{\times}}\left(\{0_M\}\right) \cap P\right)=\mathrm{T}(L)+\mathrm{T}(P)=\mathrm{T}(P)$. Da$P$ è finitamente generato su un dominio ideale principale, il suo sottomodulo di torsione deve ammettere un supplementare (libero) $Q$ nel $P$, e ne consegue $L+Q$ e $\mathrm{T}(P)=\mathrm{T}(M)$ sono supplementari in $M$. Per massimalità di$L$, ne consegue inoltre $Q \subseteq L+Q=L$, da dove $Q \subseteq L \cap P=\{0_M\}$ e così finalmente $P=\mathrm{T}(M)$.

Ora passiamo al controesempio promesso: considera $A=\mathbb{Z}$ e $M=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_4$, dove sto usando l'abbreviazione $\mathbb{Z}_r\colon=\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ per ogni $r \in \mathbb{N}$. È chiaro che$\mathrm{T}(M)=\{0\} \times \mathbb{Z}_4$. Sosteniamo che il sottomodulo$N\colon=\mathbb{Z}\left(2, \overline{1}\right)$ è massimo libero ma non è un sommario diretto (la notazione bar $\overline{m}$ denota la classe di residui di $m \in \mathbb{Z}$ modulo $4$). La condizione$N \cap \mathrm{T}(M)=\{0_M\}$è facilmente verificabile. Considera un sottomodulo$P \leqslant_{\mathbb{Z}} M$ tale che $N \leqslant_{\mathbb{Z}} P$ e $P \cap \mathrm{T}(M)=\{0_M\}$. Se$p \colon \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}$ denota la proiezione canonica sul fattore sinistro, che abbiamo $2\mathbb{Z}=p[N] \leqslant_{\mathbb{Z}} p[P] \leqslant_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}$, che offre le uniche opzioni $p[P]=\mathbb{Z}$ o $p[P]=2\mathbb{Z}$. La prima opzione porta a una contraddizione, da allora$1 \in p[P]$ significava che esisteva $a \in \mathbb{Z}_4$ tale che $(1, a) \in P$ e quindi $(2, 2a) \in P$. Dal momento che abbiamo anche$\left(2, \overline{1}\right) \in N \subseteq P$, ne consegue che $0_M \neq \left(0, 2a-\overline{1}\right) \in P \cap \mathrm{T}(M)$, che costituisce la contraddizione (il fatto che $\overline{1} \notin 2\mathbb{Z}_4=\left\{\overline{0}, \overline{2}\right\}$è fondamentale qui). Quindi abbiamo necessariamente$p[P]=2\mathbb{Z}$, quindi per qualsiasi $x \in P$ esiste $n \in \mathbb{Z}$ e $t \in \mathbb{Z}_4$ tale che $x=(2n, t)$. Come abbiamo anche fatto$n\left(2, \overline{1}\right)=\left(2n, \overline{n}\right) \in P$, lo deduciamo $\left(0, t-\overline{n}\right) \in P \cap \mathrm{T}(M)=\{0_M\}$ donde $t=\overline{n}$ e quindi $x \in N$. Ciò dimostra l'uguaglianza$P=N$ e stabilisce $N$ come massimo tra quei sottomoduli che si intersecano $\mathrm{T}(M)$banalmente. Tuttavia, la seconda osservazione ce lo dice$N$ non può essere un addendo diretto: anzi, se così fosse ne seguirebbe necessariamente quello $N+\mathrm{T}(M)=M$, mentre nel nostro caso $N+\mathrm{T}(M)=2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_4<_{\mathbb{Z}} M$ è un vero e proprio sottomodulo.