minimizzazione dell'integrale della funzione multivariabile

Question

Permettere $\alpha \in (0,1) $ essere un parametro che possiamo scegliere e $Y$ essere una variabile casuale (es. distribuzione normale standard), quindi possiamo definire una funzione come di seguito (dove $v,e < 0$ sono due variabili):

$S(Y,v,e; \alpha) = -\frac{1}{\alpha e}\cdot(v-Y) \cdot \mathbf{1}_{(Y \le v)} + \frac{v}{e} - log(-e) - 1 $

Se minimizzassimo il valore atteso rispetto a $v$ e $e$, dovremmo ottenere

$$ v=\Phi^{-1}_Y(\alpha)$$

e

$$ e = \frac{1}{\alpha}*\phi_Y( \Phi^{-1}_Y(\alpha) ) $$

Answer 1

Otteniamo prima un'espressione analitica per $E_Y[S]$ con $Y \sim \mathcal{N}(0,1)$: \begin{align} E_Y[S] &= -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\alpha e} (v - y) \mathbf{1}_{\{ y \leq v\}} \exp(-\frac{1}{2} y^2)dy + \frac{v}{e} - \log(-e) -1 \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{v} \frac{1}{\alpha e} (v - y) \exp(-\frac{1}{2} y^2)dy + \frac{v}{e} - \log(-e) -1 \\ & = -\frac{v}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{v} \frac{1}{\alpha e}\exp(-\frac{1}{2} y^2)dy +\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{v} \frac{y}{\alpha e}\exp(-\frac{1}{2} y^2)dy + \frac{v}{e} - \log(-e) -1 \\ &= \frac{-v}{ \alpha e} \Phi_Y(v) - \frac{1}{\alpha e \sqrt{2\pi}}\exp(-v^2/2)+ \frac{v}{e} - \log(-e) -1 \end{align}

Ora siamo pronti per ottenere la tua prima equazione: \begin{align} \frac{\delta}{\delta v} E[ S(Y,v,e; \alpha) ] &= -\frac{1}{\alpha e} \left( \Phi_Y(v) + \frac{v}{\sqrt{2\pi}}\exp(-v^2 / 2) \right) + \frac{v}{\alpha e \sqrt{2 \pi}} \exp(-v^2 / 2)+\frac{1}{e}\\ &= -\frac{1}{\alpha e} \Phi_Y(v) + \frac{1}{e} \end{align}

Calcolando $\frac{\delta}{\delta v} E[ S(Y,v,e; \alpha) ] = 0$ otteniamo il risultato.

Per la seconda equazione:

\begin{align} \frac{\delta}{\delta e} E[ S(Y,v,e; \alpha) ] &= \frac{v}{\alpha e^2} \Phi_Y(v) + \frac{1}{\alpha e^2 \sqrt{2\pi}}\exp(-v^2/2) - \frac{v}{e^2} - \frac{1}{e} \end{align}

Noi scriviamo $\frac{\delta}{\delta e} E[ S(Y,v,e; \alpha) ] =0$per ottenere: \ begin {equation} e = \ frac {v} {\ alpha} \ Phi_Y (v) + \ frac {1} {\ alpha} \ phi_Y (v) - v \ end {equation}

Per concludere, usiamo l'ottimun di $v = \Phi_Y^{-1}(\alpha)$ trovato nella prima equazione e il fatto che $\Phi_Y(\Phi_Y^{-1}(\alpha)) = \alpha$ ottenere:

\ begin {equation} e = \ frac {v} {\ alpha} \ alpha + \ frac {1} {\ alpha} \ phi_Y (v) - v = \ frac {1} {\ alpha} \ phi_Y (\ Phi_Y ^ {- 1} (\ alpha)) \ end {equation}

Non è esattamente quello che stai chiedendo, ma penso che sia giusto; Non riesco a trovare alcun errore di battitura nella mia procedura. Forse il$\frac{1}{1-\alpha}$ è appena $\frac{1}{\alpha}$ nella tua domanda.