Misure equivalenti e loro supporti topologici

Question

Il supporto topologico $\sigma(\mu)$ di una misura Borel $\mu$ può essere definito come il più piccolo set Borel chiuso $X$ che supporta $\mu$, nel senso che $\mu(\mathbb{R}\setminus X)=0$. Si può dimostrare che il supporto topologico esiste ed è dato dall'insieme dei suoi punti di crescita, cioè \ begin {equation *} \ sigma (\ mu) = \ left \ {x \ in \ mathbb {R}: \ forall \ delta > 0, \, \ mu (I_ \ delta (x))> 0 \ right \}, \ end {equation *} con$I_\delta(x)=(x-\delta,x+\delta)$.

Permettere $\mu$, $\nu$ essere due misure Borel e supponiamo che $\mu\ll\nu$ e $\nu\ll\mu$, cioè ciascuno di essi è assolutamente continuo rispetto all'altro; in questo senso, lo dirò$\mu$ e $\nu$ sono equivalenti.

Mi piacerebbe mostrare $\sigma(\mu)=\sigma(\nu)$. Se non sbaglio, questa uguaglianza può essere dimostrata notandolo, per certo$\mu$, $\sigma(\mu)$ coincide con lo spettro dell'operatore di moltiplicazione autoaggiunto $(A_\mu f)(x)=xf(x)$ nello spazio di Hilbert $L^2_\mu(\mathbb{R})$(se definito nel dominio appropriato); Se$\mu$ e $\nu$ sono equivalenti, gli operatori $A_\mu$ e $A_\nu$può essere prontamente dimostrato di essere unitariamente equivalente e quindi isospettrale. Tuttavia, mi aspetto un argomento più immediato per dimostrare l'esistenza di questa uguaglianza.

Answer 1

È stato facile. Permettere$x\in\sigma(\mu)$ e supponiamo $x\notin\sigma(\nu)$. Poi c'è$\delta_0>0$ tale che $\nu(I_{\delta_0}(x))=0$. Ma da allora$\mu\ll\nu$, ciò implica $\mu(I_{\delta_0}(x))=0$, contraddicendo il presupposto iniziale. Quindi$\mu\ll\nu$ implica $\sigma(\mu)\subset\sigma(\nu)$. Ripetendo lo scambio di argomenti$\mu$ e $\nu$ mostra l'affermazione.