Modulo di scambio e argomento in coordinate polari
Permettere $y=f(x)$in coordinate cartesiane. Scambiando il file$x$ coordinare con il $y$ coordinata ha l'effetto di riflessione attorno all'asse $y=x$.
Ma se $r=f(\theta )$ in coordinate polari (dove $r$ è il modulo e $\theta$ è l'argomento), cosa succede quando scambiamo $r$ con $\theta$?
Ad esempio, qual è la differenza tra i grafici polari di $r=\theta ^2$ e $\theta =r^2$? Hanno lo stesso aspetto? O c'è anche qualche tipo di riflessione?
Risposte
I grafici polari di $r= \theta^2, \sqrt \theta, \theta$ sono mostrati rispettivamente in blu, rosso e grigio.
La linea grigia non riflette i profili rosso / blu in un modo attualmente immaginabile da me.
Forse è perché$(r,\theta)$ non hanno la stessa dimensione fisica e appartengono a un tipo o genere comune.
$Z=r e^{i \theta}$è un numero complesso. non so cosa$U = \theta e^{ir}$ davvero è.
Una domanda molto buona, ma la mia risposta potrebbe essere non buona. Questo è indirettamente suggerito che il requisito geometrico reciproco non trova risposta.
Coordinate polari che chiamiamo mappatura ben nota $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, a partire dal $(x,y)$ per $(\theta, r)$ usando le formule $x = r\cos \theta$, $y = r\sin \theta$, $r \geqslant 0,\theta \in [0, 2\pi) $.
Quanto all'aereo $(\theta, r)$, allora sono le solite coordinate cartesiane, le solite $\mathbb{R}^2$e puoi pensarci esattamente come pensi $(x,y)$. $r=\theta^2$ è esattamente la parabola. $\theta=r^2$ è entrambi i rami di radice quadrata.
Usiamo coordinate polari, quando una funzione / curva sembra "difficile" $(x,y)$ e associandolo a $(\theta, r)$piano otteniamo un caso più "facile". L'esempio più noto è il cerchio$x^2+y^2=r^2$, che per coordinate polari si sposta all'intervallo $[0, 2\pi) \times \{1\}$. Disco$x^2+y^2\leqslant r^2$ è mappato al rettangolo $[0, 2\pi) \times [0,1]$.
Aggiunta. Ora sullo scambio di variabili. Per definizione la simmetria assiale non è identica alla trasformazione ortogonale che ha una linea di punti fissi. Questa linea è chiamata asse di simmetria . Per ottenere il punto$M$ punto simmetrico $M'$ rispetto all'asse di simmetria è necessario tracciare una linea perpendicolare all'asse di simmetria da $M$ e prendi il punto $M'$ su questa perpendicolare sull'altro lato dell'asse di simmetria sulla stessa distanza di $M$.
Ad esempio, se consideriamo $y=x$ come asse di simmetria, quindi per punto $(a,b)$ punto simmetrico è $(b,a)$.
Presto $\mathbb{R}^2$ scambiare le coordinate cioè avere un grafico $y=f(x)$ e considerando $x=f(y)$ sta esattamente creando simmetria rispetto alla linea $y=x$. Lo stesso è, ovviamente, se ne parliamo$r=f(\theta)$ e considerando $\theta=f(r)$ - sono simmetrici rispetto alla linea $r=\theta$.
Un'altra domanda è a cosa serve lo scambio di variabili $(x,y)$ in $(\theta, r)$e viceversa. Consideriamo innanzitutto il "piano polare". Come si è detto sopra, scambiare lì le variabili significa simmetria rispetto alla linea$r=\theta$. Ultima è la nota spirale di Archimede sul "piano cartesiano". Quindi scambio di coordinate$\theta$ e $r$ dà in aereo $(x,y)$ grafici "simmetrici" rispetto alla spirale $r=\theta$ che è lo stesso di $\sqrt{x^2+y^2}=\arctan \frac{y}{x}$. Ad esempio la parabola$r=\theta^2$, che è una sorta di spirale $(x,y)$, dopo lo scambio dà $\theta=r^2$, o prendendo il suo unico ramo, $r=\sqrt{\theta}$ è di nuovo una spirale $(x,y)$.
Riassumendo:
parabola $y=x^2$ è assiale simmetrico rispetto alla radice quadrata $x=y^2$ utilizzando la linea dell'asse di simmetria $y=x$.
Nella spirale linguistica "polare" $r=\theta^2$ è "a spirale" simmetrica rispetto alla spirale $\theta=r^2$ utilizzando simmetria "asse" spirale $r=\theta$
Secondo esempio. Prendiamo il piano polare$r=\tan\theta$ cioè punti $(\theta,\tan\theta)$. Lo scambio di variabili dà$\theta=\tan r$ cioè punti $(\tan r,r)$. Ovviamente$(\theta,\tan\theta)$ è assialmente simmetrico a $(\tan r,r)$ rispetto all'asse di simmetria $\theta=r$. Ora se consideriamo i punti corrispondenti su$(x,y)$ piano, quindi asse di simmetria $\theta=r$ crea spirale, mentre $r=\tan\theta$ e $\theta=\tan r$ creare alcune curve corrispondenti $(x,y)$: $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{y}{x}$ e $\arctan \frac{y}{x}=\tan \sqrt{x^2+y^2}$. Ovviamente$(x,y)$ le curve non sono assialmente simmetriche.
Se suona accettabile, possiamo chiamarlo simmetrico "a spirale" sul piano $(x,y)$ tali punti, le cui preimmagini sono assialmente simmetriche sul piano $(\theta, r)$ rispetto all'asse di simmetria $\theta=r$.
Usando questo termine possiamo chiamare $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{y}{x}$ e $\arctan \frac{y}{x}=\tan \sqrt{x^2+y^2}$ "a spirale" simmetrica sul piano $(x,y)$.