Mostra che questo quad è ciclico

Question

Non sembra difficile ma mi ha bloccato:

• $I$ è l'incentro di $\triangle ABC$
• $D$ il punto di contatto del cerchio con $BC$
• $M,M'$ sono l'intersezione del circumcircle di $\triangle ABC$ con la bisettrice perpendicolare di $BC$, $M'$ sull'arco $BAC$
• $E = AD \cap (ABC)$
• $F,F' = M'E \cap (BCI)$

Dimostralo $AIEF'$ giace su un cerchio.

Ho visto questo problema in un blog. Conosciamo quel quadrilatero$BFCF'$ è armonico perché $BM'$ e $CM'$ sono entrambe linee tangenti.

Quindi linea $F'F$ è symedian di $\triangle BF'C$. Il blog ha detto che questo, insieme al fatto che$\angle DIM = \angle DEF$ implica il quad $AIEF'$ è ciclico e non vedo questa implicazione (anche se la vedo $FF'$ è symedian e l'uguaglianza degli angoli).

Se voi ragazzi riuscite a trovare altre idee, anche questa sarà interessante.

Un paio di fatti:

• $E$ è il punto medio di $FF'$

• la bisettrice di $\angle BF'C$ incontra entrambi: $(BCI)$ e $MM'$ allo stesso punto.

Answer 1

OP menziona questo post sul blog come ispirazione per la domanda. Quel post potrebbe dirlo$AIEF'$ è ciclico a causa di "asse radicale", ma se è così commette l'errore di assumerlo $I,D,F'$ sono collineari.

Il post del blog fa riferimento a un thread sul problema, di cui questa è una voce . La voce definisce$F'$ come collineare con $I,D$e in un passaggio successivo (dopo aver mostrato $AIEF'$ ciclico) lo dimostra $F'$ è allineato con $E,M'$.

Supponendo $I,D,F'$ collineare il metodo "asse radicale" equivale alle potenze di calcolo del punto $D$ rispetto ai cerchi $(ABC)$ e $(BIC)$ e le tre linee $AE,BC,IF'$, dandoci $$AD\cdot DE=BD\cdot DC=ID\cdot DF'.$$Dal teorema degli accordi intersecanti $AD\cdot DE=ID\cdot DF'$ implica $AIEF'$ è ciclico.

Dopodiché, possiamo eseguire la sequenza angolare (come nella voce del thread) per dimostrarlo $F'$ è allineato con $E,M'$ dandoci la configurazione del quadruplo armonico.

Answer 2

Nota: COME sottolineato, la seguente risposta non è valida, come presume $I,D,F'$ sono collineari.

L'obiettivo è mostrare $\angle AIF' = \angle AEF’$.

$\angle AIF' = (black) + [grey] = (0.5\angle A+ \angle C + 0.5\angle B) +[90^0 – 0.5\angle B] = 0.5\angle A + \angle C + 90^0$

$\angle AEF’ = 90^0 + (purple) = 90^0 + (blue + [brown]) = 90^0 + (0.5\angle A + [\angle C])$