Necessario ma non sufficiente
Questa domanda è già stata posta qui due volte, vale a dire qui e qui , ma nessuna delle risposte risponde alla mia domanda specifica, tranne probabilmente questa risposta , che si avvicina.
Quindi, usando la notazione della risposta chiusa, non capisco perché devo escludere le tuple $(T,T)$ e $(F,F)$.
Chiamiamo la frase "Q è necessaria ma non sufficiente per P" R.
Quanto a $(F,F)$, se P è falso quando anche Q è falso, dovrebbe risultare R = vero; poiché Q è necessario per P, quindi l'assenza di Q dovrebbe implicare l'assenza di P. Perché dovrei volere che R sia falso in questo caso?
E per $(T,T)$, Immaginerò un'immagine più completa. Diciamo che P dipende da Q e da alcuni altri fattori, denominati collettivamente W. Ora, dovremmo dividere la riga$(T,T)$in 2, uno con W falso e un altro con W vero. Nel caso con W vero, R dovrebbe restituire T, e nel caso con W falso, R dovrebbe restituire falso. Su quale base, quindi, dovremmo decidere di escludere$(T,T)$nella dichiarazione originale! A mio parere, la lite con$(T,T)$ dovrebbe essere indecidibile.
Sarei grato se qualcuno potesse spiegarmi perché è la risposta corretta $¬(¬r∧¬p)→¬q∧¬((¬r∧¬p)→q)$ in un modo diverso da quello
"è necessario" si traduce in così e così e "è sufficiente" si traduce in così e così, quindi la congiunzione del primo con la negazione del secondo dà la risposta corretta.
Grazie
Risposte
La dichiarazione "$P$ è necessario per $Q$"significa" per avere $Q$, noi dobbiamo avere $P$" o $Q \to P$, sebbene possiamo anche scrivere il contropositivo $\neg P \to \neg Q$.
La dichiarazione "$P$ è sufficiente per $Q$"significa" se abbiamo $P$, abbiamo sicuramente $Q$" o $P \to Q$, sebbene possiamo anche scrivere il contropositivo $\neg Q \to \neg P$.
Quindi, l'affermazione "$P$ è necessario ma non sufficiente per $Q$"può essere scritto come $$(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q).$$ Nell'esempio che hai fornito, $Q = q$ mentre $P = \neg r \land \neg p$ a causa delle specificità dell'altra domanda e se sostituiamo quelle $P$ e $Q$, otteniamo la dichiarazione che stai citando.
Se guardi attentamente l'affermazione logica, si scopre che $(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q)$ è vero solo in un caso: quando $P$ è vero, ma $Q$è falso. Perché? Perché per osservare$P$ non essere sufficiente per$Q$, $P$ deve accadere, e $Q$ deve ancora fallire.
Questo non corrisponde alle nostre intuizioni per cosa "$P$ è necessario ma non sufficiente per $Q$"significa. Vogliamo dire qualcosa del tipo:
Ci sono alcuni casi in cui $P$ accade, e $Q$ non lo fa, perché $P$ non è sufficiente per $Q$. Tuttavia, in tutti i casi in cui$Q$ accade, $P$ succede anche: $P$ è necessario per $Q$.
Per dire cose del genere, il linguaggio delle affermazioni logiche non è sufficiente! Dobbiamo avere quantificatori per parlare di "alcuni casi" e "tutti i casi".
Permettere $P(x)$ e $Q(x)$ denotare "nel caso $x$, $P$ contiene "e" nel caso $x$, $Q$ detiene ". Quindi:
- "$P$ è necessario per $Q$" si intende $\forall x\, Q(x) \to P(x)$.
- "$P$ è sufficiente per $Q$" si intende $\forall x\, P(x) \to Q(x)$. La sua negazione semplifica a$\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)$.
La dichiarazione "$P$ è necessario ma non sufficiente per $Q$"ha l'interpretazione più sofisticata $$ (\forall x\, Q(x) \to P(x)) \land (\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)). $$ Ovvero: "In tutti i casi $x$ dove $Q(x)$ tiene, $P(x)$vale anche. Tuttavia, c'è un caso in cui$P(x)$ tiene, ma $Q(x)$ non".
Una semplice dichiarazione come $P(x) \land Q(x)$ non è né vero né falso, perché $x$non è quantificato. La dichiarazione universale$\forall x\, P(x) \land Q(x)$ è falso (perché altrimenti $P$ sarebbe sufficiente per $Q$), ma è possibile che $\exists x\,P(x) \land Q(x)$è vero. Questo è quello che vuoi dire quando dici "Secondo me, la fila con$(T,T)$ dovrebbe essere indecidibile ", ma non è una cosa di cui possiamo parlare senza quantificatori: senza quantificatori, le righe non possono essere indecidibili.
Il problema qui è che stai trattando l'implicazione materiale, simboleggiata dal connettivo logico $\to$, come se fosse la nozione quotidiana di implicazione; non lo è.
'$Q$ è sufficiente per $P$'significa precisamente che se $Q$ è vero, allora $P$deve essere vero; lo formalizziamo come$Q\to P$. Se$P$ e $Q$ sono entrambi falsi, questo è vacuamente vero, poiché non dice nulla sulla verità di $P$ quando $Q$è falso. Questo è semplicemente il modo in cui funziona l'implicazione materiale. Quindi,$R$ deve essere falso quando $P$ e $Q$ sono entrambi falsi, poiché in quel caso $Q$ è sufficiente per$P$.
L'implicazione è vera anche quando entrambi $P$ e $Q$ sono vere, semplicemente perché $P$è vero; ancora una volta, è proprio così che funziona l'implicazione materiale. In termini intuitivi, l'implicazione$Q\to P$ ha il valore di verità $F$ solo quando la sua falsità può essere effettivamente dimostrata dai valori di verità di $P$ e $Q$, e questo è il caso solo quando $Q$ è vero e $P$è falso. In tutti gli altri casi il suo valore di verità è$T$. Quindi,$R$ deve anche essere falso quando $P$ e $Q$ sono entrambi veri.
Dire la stessa cosa con parole leggermente diverse, nessuna delle due $(F,F)$ né $(T,T)$ esclude la possibilità che $Q$ è sufficiente per $P$, nell'unico caso perché non abbiamo $Q$e nell'altro caso perché abbiamo $P$. L'unico caso che effettivamente esclude la possibilità che$Q$ è sufficiente per $P$ è $(F,T)$. Se affermiamo, come$R$ fa, quello $Q$non è sufficiente per$P$, stiamo escludendo la possibilità che $Q$ è sufficiente per $P$, quindi lo stiamo affermando $P$ è falso e $Q$ è vero.