Norma e spettro dell'operatore

Question

Mi chiedo quando una norma di operatore coincida con il massimo autovalore di un operatore e c'è un aspetto in particolare che mi confonde parecchio.

Supponiamo di avere un operatore lineare continuo positivo simmetrico $$ T : L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega) $$ con autovalore massimo $\lambda>0$ così che $T u = \lambda u$ per qualche autofunzione $u\in L^2(\Omega)$. Quindi (se ho capito bene), dovrebbe reggere$$ \lambda = \sup_{v \in L^2(\Omega) \setminus \{ 0 \}} \frac{\| Tv \|_{L^2(\Omega)}}{\| v \|_{L^2(\Omega)}}. $$ Quindi, supponiamo che l'operatore abbia un effetto levigante tale che $\mbox{image}(T) \subset H^1_0(\Omega)$ e lo è anche $H^1$-continuo (sto pensando $T$come l'inverso di un operatore differenziale ellittico). In questo caso possiamo interpretare l'operatore come$$ T : H^1_0(\Omega) \rightarrow H^1_0(\Omega) $$ Lo spettro dovrebbe rimanere invariato, quindi lo penserei $$ \lambda = \sup_{v \in H^1_0(\Omega) \setminus \{ 0 \}} \frac{\| Tv \|_{H^1_0(\Omega)}}{\| v \|_{H^1_0(\Omega)}}. $$ Tuttavia, la dichiarazione $$ \sup_{v \in H^1_0(\Omega)} \frac{\| Tv \|_{H^1_0(\Omega)}}{\| v \|_{H^1_0(\Omega)}} = \lambda = \sup_{v \in L^2(\Omega)} \frac{\| Tv \|_{L^2(\Omega)}}{\| v \|_{L^2(\Omega)}}. $$mi sembra sbagliato. È? In caso affermativo, dov'è l'errore nei miei argomenti? Mi sento come se avessi un malinteso di base qui.

Answer 1

Il punto principale qui è quello, per un operatore $S$ su uno spazio di Banach (o spazio di Hilbert) $X$, il numero $\sup_{x \in X \setminus\{0\}} \frac{\|Sx\|}{\|x\|}$ non è il raggio spettrale di $S$ma la norma dell'operatore. La norma dell'operatore è sempre$\ge$ il raggio spettrale, ma non possiamo aspettarci l'uguaglianza in generale.

Su uno spazio di Hilbert, una condizione sufficiente per l'uguaglianza della norma dell'operatore e del raggio spettrale è che l'operatore sia autoaggiunto o, più in generale, normale.

Ma come sottolineato in un commento di Mateusz Kwaśnicki, se $T$ è autoaggiunto $L^2$, questo non implica quello $T$ è autoaggiunto $H^1_0$ poiché il prodotto interno è diverso dal prodotto interno $L^2$.

Ecco un controesempio concreto :

Permettere $\Omega = (0,2\pi)$ (dotato della misura Lebesgue non normalizzata) e definire $z,v \in H^1_0 := H^1_0(\Omega)$ di \begin{align*} z(x) & = \frac{|\sin(x)|}{\sqrt{\pi}}, \\ v(x) & = \sin(\frac{1}{2}x) \end{align*} per tutti $x \in (0,2\pi)$.

Definiamo l'operatore $T$ su $L^2$ di $$ Tf = \langle f, z\rangle_{L^2} \cdot z $$ per tutti $f \in L^2$. Poi$T$ è un grado autoaggiunto$1$ proiezione attiva $L^2$ la cui norma e raggio spettrale sono quindi uguali a $1$. Chiaramente, la gamma di$T$ è un sottoinsieme di $H^1_0$.

La restrizione di $T$ per $H^1_0$ è di nuovo una proiezione diversa da zero e quindi ha ancora raggio spettrale $1$. Ma la norma dell'operatore di$T$ su $H^1_0$ è strettamente maggiore di $1$. In effetti, abbiamo$$ \|T\|_{H^1_0 \to H^1_0} \ge \frac{\|Tv\|_{H^1_0}}{\|v\|_{H^1_0}} = \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{45}\pi} > 1 $$ (dobbiamo calcolare alcuni integrali per ottenere l'uguaglianza nel mezzo, ma i calcoli sono piuttosto semplici).

Ciò dimostra che le norme dell'operatore di $T$ su $L^2$ e così via $H^1_0$ sono distinti, sebbene il raggio spettrale su entrambi gli spazi lo sia $1$. In particolare,$T$ non può essere autoaggiunto (e nemmeno normale) $H^1_0$.

EDIT: un'ulteriore osservazione. Mentre, nell'esempio sopra, l'uguaglianza dei raggi spettrali su entrambi gli spazi deriva dal fatto che$T$ funge da proiezione su entrambi gli spazi, ho pensato che valesse la pena sottolineare che l'uguaglianza dei raggi spettrali è effettivamente un fatto generale:

Proposizione. (Uguaglianza dei raggi spettrali) Let$V,X$ essere complessi spazi di Banach tali che $V$ è continuamente incorporato in $X$. Permettere$T: X \to X$ essere un operatore lineare limitato tale che $TX \subseteq V$. Quindi il raggio spettrale dell'operatore$T: X \to X$ coincide con il raggio spettrale della restrizione $T|_V: V \to V$.

Prova. Usiamo la formula del raggio spettrale$$ (*) \qquad r(S) = \lim_{n \to \infty} \|S^n\|^{1/n} $$ che vale per il raggio spettrale $r(S)$ di ogni operatore lineare limitato $S$ su uno spazio complesso di Banach.

Per ciascuno $n \in \mathbb{N}$ l'operatore $(T|_V)^n = (T^n)|_V: V \to V$ fattorizza come $$ V \hookrightarrow X \overset{T^{n-1}}{\longrightarrow} X \overset{T}{\longrightarrow} V, $$ quindi la formula del raggio spettrale $(*)$ implica che $r(T|_V) \le r(T)$. Ma al contrario, l'operatore$T^n: X \to X$ fattorizza come $$ X \overset{T}{\longrightarrow} V \overset{(T|_V)^{n-1}}{\longrightarrow} V \hookrightarrow X, $$ quindi la formula del raggio spettrale $(*)$ implica anche quello $r(T) \le r(T|_V)$. Questo prova la proposta.

Nota. Ciò che è abbastanza carino della proposizione sopra è che non si basa su autovalori, quindi nessuna ipotesi di compattezza sull'operatore$T$ è necessario.