Numero di combinazioni possibili

Question

Voglio trovare il numero di possibili combinazioni dei numeri 1,2,3,4,5 in modo tale che ci siano solo due numeri diversi.

Il mio approccio:

Supponiamo che io abbia 5 posti da riempire $\text{_,_,_,_,_}$. In primo luogo posso avere 5 possibili numeri, nel secondo posso avere 4 possibili numeri, nel terzo posso avere 2 possibili numeri (uno dei due scelti in precedenza), e similmente per la 4a e 5a posizione , ci possono essere 2 numeri possibili. Quindi dobbiamo essere il numero totale

$$5\times 4 \times 2^3 \times 5!$$

Ora dobbiamo scontare tutti i duplicati. Abbiamo due casi. Uno in cui abbiamo 4 uguali (e 1 diverso) e uno in cui abbiamo 3 uguali e 2 di un altro. Quindi le combinazioni totali devono quindi essere$$5\times 4 \times 2^2 \times 5! (\frac{1}{2!2!} +\frac{1}{4!})$$. Tuttavia, questo è sbagliato. Qualcuno può spiegarmi perché questo è sbagliato?

Answer 1

Supponiamo che ci fossero solo tre spazi da riempire. Se dovessi scegliere i numeri 1e 2, quindi, per ottenere accordi con esattamente 2 numeri diversi, hai sei possibilità.

112 121 211 122 212 221

Il numero di arrangiamenti potrebbe essere scritto come $2^3 - 2 = 8-2 = 6,$perché 111e 222, avendo solo uno dei numeri, non sono ammessi.

Quindi devi decidere quali due numeri scegliere; ci sono ${5 \choose 2} = 10$ modi in cui sceglierli:

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

Quindi la risposta per tre slot è $(2^3 - 2){5 \choose 2} = 60.$

Generalizzare.

Answer 2

Nel tuo approccio, prima di provare a contare i modi di ordinare i numeri, avevi già tutti gli ordini che hanno numeri diversi nelle prime due posizioni. Hai costretto i primi due a differire dicendo che c'erano$4$scelte per la seconda posizione. Potresti continuare contando quelli che sono d'accordo nei primi due numeri dicendo di sì$5$ scelte per il primo, $1$ per il secondo $4$ per il terzo, e $2$per ciascuno degli altri. Otterrebbero tutti quelli in cui i primi due corrispondono e il terzo è diverso. Ora conta quelli in cui i primi tre sono uguali e il quarto diverso e infine dove i primi quattro sono gli stessi.

L'altro approccio consiste nel contare prima le possibilità non ordinate. Ci sono$20$combinazioni con tre di un numero e due di un altro. Ciascuno di questi può essere ordinato in$\frac {5!}{3!2!}$ modi, o in $5 \choose 2$modi se pensi di scegliere gli slot per la coppia. Allo stesso modo ci sono$20$combinazioni con quattro di un numero e uno di un altro. Contare i modi per ordinarli e sommarli.