Operatori compatti e base ortonormale per spazio di Hilbert separabile

Question

La mia congettura è vera o falsa? Sembra che possa essere vero sulla base della prova fornita.

Congettura: Let $T:H_1\rightarrow H_2$ essere un operatore lineare limitato tra spazi di Hilbert $H_1$ e $H_2$. Assumere$H_1$è separabile. Supponiamo che esista una base ortonormale$\{e_j\}$ così che $Te_j\rightarrow 0$ nella norma come $j\rightarrow \infty$. Poi$T$ è compatto.

Ecco la mia prova: Let $h_k\rightarrow 0$ debolmente dentro $H_1$ come $k\rightarrow \infty$. Allora scrivi$h_k=\sum_{j=1}^{\infty}\langle h_k, e_j\rangle e_j$. E così lascia$\varepsilon>0$. Allora esiste$j_{\varepsilon}\in \mathbb{N}$ e $j_{\varepsilon}>1$ in modo che per tutti $j\geq j_{\varepsilon}$, $\|Te_j\|^2<\varepsilon $. Adesso applichiamo$T$ alla rappresentazione in serie per $h_k$ e dividere la serie.

\begin{align} \|Th_k\|^2&< \sum_{j=1}^{j_{\varepsilon}-1}|\langle h_k, e_j\rangle |^2 \|Te_j\|^2+\varepsilon\sum_{j=j_{\varepsilon}}^{\infty}|\langle h_k, e_j\rangle|^2\\ &<\sum_{j=1}^{j_{\varepsilon}-1}|\langle h_k, e_j\rangle |^2 \|T\|^2+\varepsilon\sup_{k\in \mathbb{N}}\|h_k\|^2 \end{align} per tutti $k\in \mathbb{N}$. Da$h_k\rightarrow 0$ debolmente come $k\rightarrow \infty$, lo si può dimostrare $\|h_k\|^2$è una sequenza limitata che utilizza il principio di limitatezza uniforme. Quindi resta da dimostrarlo$\sum_{j=1}^{j_{\varepsilon}-1}|\langle h_k, e_j\rangle|^2$ può essere reso arbitrariamente piccolo per $k$sufficientemente grande. Perché$h_k$ converge a $0$ debolmente, per $\varepsilon>0$ e ciascuno $j\in \{1,2,..., j_{\varepsilon}-1\}$ lì esiste $k_{j,\varepsilon}\in \mathbb{N}$ così che $|\langle h_k, e_j\rangle |^2<\frac{\varepsilon}{j_{\varepsilon}-1}$ per $k\geq k_{j,\varepsilon}$. Quindi per$k\geq k_{\varepsilon}:=\max_{j\in \{1,2,...,j_{\varepsilon}-1\}}\{k_{j,\varepsilon}\}+1$, noi abbiamo $\sum_{j=1}^{j_{\varepsilon}-1}|\langle h_k, e_j\rangle|^2<\varepsilon$. Questo dimostra che$Th_k$ è fortemente convergente a $0$ per qualsiasi sequenza $h_k$ convergente debolmente a $0$. Quindi$T$ è compatto.

Answer 1

Penso che questa sia una congettura molto intelligente e sensata, ma purtroppo non è vero.

Quando un'affermazione ragionevole si rivela falsa, i controesempi tendono ad essere un po 'complicati, ma ecco una ricetta per produrne uno.

Permettere $H$ essere uno spazio di Hilbert separabile con base ortonormale $\{e_0, e_1, e_2, \ldots \}$.

Per ogni operatore limitato $T$ sopra $H$, la matrice di $T$ è definita come matrice $A = (a_{i,j})_{i, j=0}^\infty$, fornito da $$ a_{i,j}=\langle T(e_j),e_i\rangle . $$

Un operatore limitato $T$ sopra $H$si dice che sia un operatore Hankel se esiste una funzione$\varphi :{\mathbb N}\to{\mathbb C}$ tale che la matrice di $T$ è dato da $$ a_{i,j}=\varphi (i+j), $$ per ogni $i$ e $j$. Allo stesso modo, le voci della matrice di$T$ sono costanti lungo ogni diagonale perpendicolare alla diagonale principale.

Osserva che i coefficienti del vettore $T(e_j)$, vale a dire il $j^{\text{th}}$ colonna della sua matrice, sono date precisamente da $\{\varphi (i+j)\}_{i=0}^\infty$. In altre parole,$$ T(e_j)=\sum_{i=0}^\infty \varphi (i+j)e_i. $$

Da $T(e_0)$ dovrebbe mentire $H$, Lo vediamo $\{\varphi (i)\}_{i=0}^\infty$è una sequenza sommabile quadrata. Di conseguenza,$$ \Vert T(e_j)\Vert ^2 = \sum_{i=0}^\infty |\varphi (i+j)|^2 = \sum_{i=j}^\infty |\varphi (i)|^2 \quad {\buildrel j\to\infty \over \longrightarrow}\quad 0. $$ Quindi vediamo che tutti gli operatori Hankel soddisfano la condizione richiesta dall'OP!

Se vogliamo trovare un controesempio, ci resta quindi il compito di trovare un operatore Hankel non compatto, ma è qui che le cose si fanno un po 'più sofisticate, anche perché gli operatori Hankel hanno una forte tendenza ad essere compatti!

Quindi ecco due dei risultati più importanti sugli operatori Hankel.

Teorema . (Nehari) Data una funzione$\varphi :{\mathbb N}\to{\mathbb C}$, la matrice $A = (a_{i,j})_{i, j=0}^\infty$, fornito da $a_{i,j}=\varphi (i+j)$, rappresenta un operatore limitato su $H$ se e solo se esiste una funzione misurabile limitata $f$ sopra $S^1$ i cui coefficienti di Fourier non negativi soddisfano $$ \hat f(n) = \varphi (n), \quad \forall n\geq 0. $$

La funzione $f$a cui si fa riferimento sopra è talvolta chiamato il simbolo dell'operatore, e l'operatore stesso è spesso indicato con$H_f$.

Teorema . (Hartman) Data una funzione$\varphi :{\mathbb N}\to{\mathbb C}$, il corrispondente operatore Hankel è compatto se e solo se ammette un simbolo continuo.

Dobbiamo quindi trovare una funzione $\varphi $ che soddisfa Nehari ma non Hartman!

A prima vista si potrebbe pensare che basti prendere un simbolo discontinuo $f$e produrre un operatore di Hankel usando i suoi coefficienti di Fourier ma, sfortunatamente, la vita non è così semplice. Poiché la funzione$\varphi $si riferisce solo ai coefficienti di Fourier positivi di$f$, rischiamo di trovarci nella situazione in cui $f$ è discontinuo, ma qualche altra funzione continua $g$ condivide i suoi coefficienti di Fourier positivi con $f$, così $H_f$ risulterà compatto :-(

Una classe di operatori di cui è possibile verificare immediatamente la compattezza è la classe delle isometrie parziali. Un tale operatore è facilmente visto come compatto se la sua gamma è di dimensione finita. È quindi bello sapere che l'operatore Hankel isometrico parziale può essere facilmente caratterizzato!

Teorema . Un operatore di Hankel è un'isometria parziale se e solo se ammette un simbolo della forma$\bar z\vartheta$, dove $\vartheta$ è una funzione interiore.

Per coloro che ancora non la conoscono, una funzione interna è una qualsiasi funzione misurabile$\vartheta$ sopra $S^1$ tale che $|\vartheta(z)|=1$, per quasi tutti $z$, e anche in modo tale $\hat \vartheta(n)=0$, ogni volta $n< 0$.

Esiste un'enorme quantità di funzioni interne, come i cosiddetti fattori di Blachke, vale a dire le funzioni della forma $$ \vartheta(z) = {|a|\over a}{a-z \over 1-\bar a z}, \quad \text { for } z\in S^1, $$ per un numero complesso fisso $a$ con $|a|<1$ (quando $a=0$ è opportuno sostituirlo con $\vartheta(z)=z$). Tuttavia il guaio, almeno dal nostro punto di vista, è questo$\vartheta$ è continuo, e quindi dal Teorema di Hartman $H_{\bar z\vartheta}$ è compatto :-( In effetti $H_{\bar z\vartheta}$ ha effettivamente il rango uno.

Se invece prendiamo un prodotto finito di fattori di Blachke, vale a dire ciò che è noto come a $\ldots $ Prodotto Blachke $$ \vartheta(z) = \prod_{k=1}^n{|a_k|\over a_k}{a_k-z \over 1-\bar a_k z}, $$ otteniamo ancora una funzione interna, purtroppo ancora continua, ma il corrispondente operatore di Hankel risulta avere un rango maggiore, ovvero $n$.

Ciò suggerisce che se vogliamo un operatore Hankel isometrico parziale con rango infinito, abbiamo bisogno di un prodotto infinito di fattori di Blachke $$ \vartheta(z) = \prod_{k=1}^\infty{|a_k|\over a_k}{a_k-z \over 1-\bar a_k z}, $$ e, grazie ad un Teorema dimostrato dallo stesso Blachke, un prodotto così infinito converge purché soddisfi la cosiddetta condizione di Blachke, ovvero $$ \sum_{k=1}^\infty(1-|a_k|) <\infty . $$

Scegliere qualsiasi sequenza infinita $\{a_k\}_k$ soddisfacendo questa condizione, il corrispondente prodotto Blachke $\vartheta$ porta quindi a un operatore Hankel non compatto $H_{\bar z\vartheta}$, che è quindi l'esempio di contatore richiesto!