Order -Statistics [duplicate]

Question

Le variabili casuali $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ sono iid $\mathcal{U}(0, a)$. Determina la distribuzione di$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ Dovrei trovare la distribuzione congiunta di $\max$ e $\min$ e poi trova la distribuzione di $Z_n$, dato che abbiamo due diverse variabili casuali, non so come farlo!

Answer 1

Per prima cosa osserva che il vettore casuale $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ è supportato su $(0,a)^2$. Supponiamo$f$è la sua densità articolare. Da$X_{(n)}$ e $Y_{(n)}$ sono indipendenti, abbiamo $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ per ogni $(x,y)\in (0,a)^2$. Osserva anche come$Z_n$ è supportato su $[0,\infty)$, che significa per qualsiasi $z\geq 0$ noi abbiamo $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ Con un po 'di algebra abbiamo $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ Questa probabilità può essere scritta come il doppio integrale $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ che mostra $Z_n \sim \text{Exp}(1)$.