Pendolo realistico, è così semplice?

Question

Sto esaminando la fisica del pendolo per un'applicazione nella vita reale. In breve ho bisogno di avere una stima ragionevole della sollecitazione orizzontale applicata da un meccanismo oscillante sostenuto da una struttura in legno.

Ho iniziato con una rappresentazione del pendolo ideale (corda senza peso + bob di massa $m$, nessuno smorzamento o ulteriori complicazioni), anche se non posso usare una piccola approssimazione dell'angolo.

Dalla conservazione dell'energia ho trovato la seguente espressione per la velocità angolare $\omega$ in funzione dell'angolo del pendolo $\theta$, a condizione che il pendolo inizi a riposo ad angolo $\theta_0$ e ha lunghezza $l$:

$$ \omega = \sqrt{\frac{2g}{l}(\cos(\theta)-\cos(\theta_0))} $$ Quindi la tensione $T$ sostenuto in qualsiasi momento (cioè l'angolo) dalla struttura dovrebbe essere:
$$T = mg\cos(\theta)+ml\omega^2 = mg(3\cos(\theta)-2\cos(\theta_0))$$

1. Mi sorprende che la tensione non dipenda dalla lunghezza del pendolo, poiché la componente centripeta è correlata alla velocità tangenziale del bob mentre la velocità sarà chiaramente influenzata dalla lunghezza del pendolo. Qualcosa sembra davvero sbagliato qui.

2. La tensione vista dalla struttura è esattamente radiale? In tal caso potrei semplicemente prendere il seno per ottenere una stima dello stress orizzontale?

3. A condizione che la derivazione sia corretta, è coerente con un setup di canna rigida piuttosto che con una corda?

Grazie

Answer 1

1. Se aumenti la lunghezza e mantieni $\theta_0$costante, il movimento è esattamente lo stesso tranne che tutto accade più lentamente. Allora perché è sorprendente che la tensione dipenda solo dall'angolo? In un senso,$l$ e $g$ basta definire una "unità di tempo" naturale, cioè il periodo delle oscillazioni.

2. La tensione è esattamente radiale fintanto che le tue supposizioni sono esattamente corrette. Ovviamente nessuna delle tue supposizioni è esattamente corretta nella vita reale.

3. Dipende se si assume che l'asta rigida sia priva di massa o meno. Una barra rigida pesante avrà forze sia radiali che di taglio che variano lungo la sua lunghezza.