Perché queste parole non sono formule?
Prima di tutto so che esiste una domanda simile a questa, ma non capisco la risposta.
Ebbene, la mia domanda è tratta dal libro "Logica matematica: parte I" e dal capitolo 1.1.1 dove si parla di formule proposizionali.
La domanda è: mi danno l'alfabeto $A$ e l'insieme di parole $W(A)$ e un sottoinsieme $P \subset W(A)$ con $a,b, c \in P$. Il libro lo dice$a, \big{(} a \implies (b \iff c)\big{)}$... sono formule ma dopo questo il bool lo dice $a \wedge b, \neg (a)$... non sono formule ma sono parole.
Ma leggendo il libro lo presumo $F_0 = P$ e per ciascuno $n$, $F_{n+1} = F_n \bigcup \{ \neg F: F \in F_n \} \bigcup \{ (F \alpha G): F,G \in F_n, \alpha \in \{ \wedge, \vee ,\implies, \iff \} \}$
Quindi se $F_0 = P = \{ a,b,c \}$ poi $F_1 = F_0 \bigcup \{ \neg a, \neg b, \neg c\} \bigcup \{a \wedge b,...\}$ così $a \wedge b \in F_1$ e con la definizione dell'insieme di formule proposizionali costruite da $P$ dove $\mathbb{F} = \bigcup_{n \geq 0} F_n$ così $a \wedge b \in \mathbb{F}$ e sarà una formula.
Non so dove ho commesso un errore o qualcosa di simile.
Pd: Qui hai una foto tratta dal libro
Risposte
Le parentesi contano. I connettivi binari vanno con parentesi esterne, i connettivi unari e le lettere proposizionali no.
$A \land B$ non è una formula (in senso stretto) perché mancano le parentesi esterne. $(A \land B$) sarebbe una formula.
$\neg (A)$e non è una formula perché le parentesi sono ingiustificate. (Lo stesso andrebbe per$(\neg A)$.) $\neg A$ sarebbe una formula.
Di una categoria diversa sono $A \Rightarrow B, C$ e $\forall A ...$: Non sono formule perché contengono simboli che non fanno parte dell'alfabeto.
Riesci a capire gli altri?