Problema con $[0,1]$ è compatto $\iff$è connesso! [chiuso]

Question

È stato dimostrato che $[0,1]$è compatto se e solo collegato. voglio sapere

$\color{black}{\text{Can one deduce that $(0,1)$ is not compact then it is not connected?!!}}$

Ovviamente la risposta è sicuramente "No". Ma perché? Mi è un po 'strano !!

$\color{black}{\text{Do you have any mathematical theorem in your mind based on this logic?(just for comparing)}}$

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Answer 1

$[0,1]$ è compatto e connesso quindi l'equivalenza $([0,1]$ è compatto $\Longleftrightarrow [0,1]$ è connesso) è vero.

$(0,1)$ non è compatto ma connesso quindi l'implicazione $((0,1)$ non è compatto $\Longrightarrow (0,1)$ non è connesso) è falso.

Answer 2

Ciò che è certamente falso è che uno spazio topologico è connesso se e solo se è compatto. Questo non è vero anche per i sottoinsiemi della linea reale: considera $(0,1)$ e $[0,1]\cup[2,3]$, per esempio.

Se $X$ è uno spazio topologico fisso, quindi non c'è molto contenuto nell'istruzione 'if $X$non è compatto quindi non è connesso '. O$X$ è connesso o non lo è, e neanche $X$è compatto o non lo è. Come sottolinea TheSilverDoe,$(0,1)$ non è compatto ma connesso, quindi l'implicazione è falsa in questo caso.

Quello che mostra la risposta collegata è che puoi usare la compattezza di $[0,1]$ per dimostrare la connessione di $[0,1]$e viceversa; tuttavia, questa dimostrazione fa un uso essenziale dell'intera struttura di$[0,1]$, compreso il fatto che ha "endpoint". Ti sarebbe utile passare attraverso la dimostrazione che deriva dalla compattezza di$[0,1]$ dalla sua connessione e vedi perché fallisce $(0,1)$.

Answer 3

Se $X$ ha la topologia dell'ordine (da qualche ordine lineare $<$ sopra $X$) allora se $X$ è compatto ha la proprietà lub (ogni sottoinsieme $A \neq \emptyset$ che è delimitato sopra $\sup(A) \in X$esiste. Non possiamo tuttavia concludere che$X$ è connesso (come ad es $\{0\} \cup \{\frac1n\mid n =1,2,3\} \subseteq \Bbb R$ ha la topologia dell'ordine (nel suo ordine ereditato), o anche qualsiasi sottoinsieme finito di $\Bbb R$, ed entrambi sono compatti e scollegati). Sappiamo anche che uno spazio ordinato compatto ha un minimo e un massimo (che non è necessario per la connessione).

Se invece $X$ è uno spazio topologico linearmente ordinato, quindi $X$ connesso implica $X^+$ è compatto (dove $X^+$ è $X$ con un minimo e / o un massimo aggiunto quando non lo aveva, quindi ad es $(0,1)^+=[0,1] = [0,1)^+ = (0,1]^+$ ecc. La connessione fornisce quasi abbastanza completezza dell'ordine dalla sua proprietà lub, solo min o max potrebbero mancare.

Quindi non è iff all'interno di spazi topologici ordinati; più di loro sono compatti che connessi e connected è "quasi" compatto. Quindi le nozioni sono collegate in questo modo.