Problema di Sylvester.

Question

Un insieme finito $S$di punti in un piano ha la proprietà che una linea che passa per due di questi punti passa per un terzo punto. Dimostra che tutti i punti$S$ sono collineari.

Ho visto una prova di questo problema usando un principio estremo.

Supponiamo che i punti non siano allineati. Tra le coppie$(p,L)$ costituito da una linea $L$ e un punto non su quella linea, ne scegliamo uno che minimizzi la distanza $d$ a partire dal $p$ per $L$. Permettere$f$ essere il piede della perpendicolare da $p$ per $L$. Ci sono (per ipotesi) almeno tre punti$a,b,c$ sopra $L$. Questo, due di questi, diciamo$a$ e $b$ sono nello stesso lato di $f$. Permettere$b $ essere più vicino a $f$ di $a$. Poi la distanza da$b$ linea $ap$ è meno di $d$. Contraddizione.

La mia domanda è nell'ultima parte. Non capisco come "Quindi la distanza da$b$ linea $ap$ è meno di $d$. "produce una contraddizione. Qualcuno può spiegare?

Answer 1

All'inizio della dimostrazione abbiamo scelto $(p,L)$ tale che la distanza $d$ fra $p$ e $L$ è il minimo tra tutte le linee e i punti non su quella linea.

La contraddizione nasce quando abbiamo prodotto la coppia $(b, ap)$ con una distanza inferiore a $d$, che contraddice la condizione di minimalità su $(p,L)$.

"Geometry" potrebbe essere un tag.

EDIT: quanto al perché $b$ è più vicino a $ap$ di $p$ è quello di $L$, considera il triangolo rettangolo $\triangle afp$.

$b$ è sul lato $af$. La sua distanza dalla linea$ap$ non può superare l'altezza di $\triangle afp$ con base $ap$.

Da $ap$ è l'ipotenusa, $ap > af$.

Considerando l'area di $\triangle afp$, vediamo che l'altezza di $\triangle afp$ con base $ap$ è inferiore all'altezza di $\triangle afp$ con base $af$, che è $fp = d$.

Questo dà il risultato desiderato: la distanza di $b$ a partire dal $ap$ è meno di $d$.

Answer 2

Per una spiegazione visiva del motivo della distanza da $B$ per $AP$è più piccolo, ecco un'illustrazione. Ho scritto in maiuscolo tutte le etichette dei punti e aggiunto$G$ e $H$, che sono i piedi delle perpendicolari da $B$ e $F$ linea $AP$, rispettivamente. Dovrebbe essere chiaro che$PF > FH > BG$. La dimostrazione formale utilizza triangoli e proporzioni simili.