Prodotto di medie

Question

Permettere $(x_1,...,x_n)$ e $(y_1,...,y_n)$ essere due diverse tuple di reali positivi tali che $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$. È vero che$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$

Penso che questo dovrebbe derivare da un argomento di concavità, forse sulla funzione $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$, ma non sono sicuro di come esattamente.

Answer 1

Lo afferma la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ per $x, y \ge 0$, con uguaglianza se e solo se $x=y$.

Ne consegue che $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ con uguaglianza se e solo se $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$.

Se vuoi usare un argomento di concavità, considera $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ è concava come somma di funzioni concave.

Answer 2

Dal titolare $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$