prodotto semidiretto residualmente finito

Question

Problema

Permettere $G=N \rtimes_{\phi} Q$ dove $N\lhd G$ finitamente generato e residualmente finito e $Q$residualmente finito. Dimostralo$G$ è residualmente finito

Tentativo

lo so

• $N$ residualmente finito e fg implica $N$ è Hopfian

• $N$ residualmente finito e fg implica $Aut(N)$ è residualmente finito.

Se $1\not= nq \in G$ con $q\not=1$ poi $nq\mapsto qN \not=1$ sotto la proiezione $G\to G/N\cong Q$ e poi $\exists K$ finito e $t: Q\to K$ st $t(q)\not=1$.

Quindi resta da affrontare il caso in cui $1\not=nq\in G$ e $q=1$ cioè $qn=n\in N$. lo so$\exists K$ finito e $t:N\to K$ st $t(n)\not=1$ ma posso tenere conto di questo omomorfismo $G$ in ogni modo?

So che la dimostrazione è in "Sugli omomorfismi sui gruppi finiti (1958)" di Mal'cev ma non riesco a trovare l'articolo.

Answer 1

Da $N$ è finitamente generato e $K$ è finito, ci sono solo finitamente molti omomorfismi di gruppo $N \to K$.

Quindi l'incrocio $L$ dei loro kernel ha un indice finito in $N$, ed è caratteristico in $N$ e quindi normale in $G$. Poi$LQ$ ha un indice finito in $G$ e non contiene $N$.