Prova che $(\mathbb{R}^n, ||.||_2)$ è rigorosamente convesso.

Question

Prova che $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_2)$ è rigorosamente convesso.

Voglio usare la negazione sottoposta a seguito, ma non vedo la contraddizione.

La definizione di una norma rigorosamente convessa:

$\forall x,y\in X$ tale che $x\neq y$ e $\|x\|=1=\|y\|$, l'abbiamo capito $\left\|\frac{x+y}{2}\right\|<1$

È negazione:

$\exists x,y\in X$ tale che $x\neq y$ e $\|x\|=1=\|y\|$, l'abbiamo capito $\|\frac{x+y}{2}\|\geq1$

Ora la negazione sequenzializzata:

$\exists (x_n),(y)_n\in X$ e $n\in \mathbb{N}$ tale che $(x_n)\neq (y_n)$ e $\|x\|=1=\|y\|$, l'abbiamo capito $\left\|\frac{(x_n)+(y_n)}{2}\right\|\geq1$

Qualsiasi suggerimento sarebbe molto apprezzato!

Answer 1

Suposse quello $$\|x+y\|_2 =2$$ e $\|x\|_2 =1 , \|y\|_2 =1 , x\neq y.$ Poi $$4=\|x+y\|^2_2 $$ e dall'identità del pararellogramma otteniamo $$4+\|x-y\|^2_2 =2 +2$$ perciò $$x=y$$ e otteniamo che la norma $\|\cdot \|_2$ è rigorosamente convesso $\mathbb{R}^n .$

Answer 2

Per tutti $\;x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n,$ $\;y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n\;$ tale che $\;x\ne y\;$ e $\;\Vert x\Vert_2=\Vert y\Vert_2=1\;,$ ne risulta che

$\left(\dfrac{x_i+y_i}{2}\right)^2\le\dfrac{x_i^2+y_i^2}{2}\;,\;$ per ogni $\;i\in\big\{1,2,\ldots,n\big\}\;.$

Da $\;x\ne y\;,\;$ lì esiste $\;i^*\in\big\{1,2,\ldots,n\big\}\;$ tale che

$x_{i^*}\ne y_{i^*}\;$ e $\;\left(\dfrac{x_{i^*}+y_{i^*}}{2}\right)^2<\dfrac{x_{i^*}^2+y_{i^*}^2}{2}\;,\;$ quindi

$\bigg\Vert\dfrac{x+y}{2}\bigg\Vert_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{x_i+y_i}{2}\right)^2}<\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{x_i^2+y_i^2}{2}\right)}=$

$=\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2+\sum\limits_{i=1}^n y_i^2\right)}=\sqrt{\dfrac{1}{2}\bigg(\Vert x\Vert_2^2+\Vert y\Vert_2^2\bigg)}=1\;.$

Answer 3

Ecco un trucco ingegnoso che combina l'identità di polarizzazione con Cauchy-Schartz. Hai$$ \langle x, y \rangle = {1\over 4}(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2)$$ per ogni $x, y \in H$. Supponiamo ora$\|x\| = \|y\| = 1$ e quello $ \|(x + y)/2\| = 1.$

Poi $$ {1\over 4}(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2) = \langle x, y\rangle \le \|x\| \|y\| = 1.$$ Da $ \|(x + y)/2\| = 1,$, hai $\|(x - y)/2\| = 0,$ così $x = y$.