Prova che questa simmetria esiste

Question

L'esempio 3.8 di Griffith dice

Una sfera metallica di raggio scarica $R$ è posto in un campo elettrico altrimenti uniforme $\mathbf{E}=E_{0} \hat{\mathbf{z}} .$Il campo spingerà una carica positiva alla superficie "settentrionale" della sfera e, simmetricamente, una carica negativa alla superficie "meridionale" ...

Qual è la prova che abbiamo una distribuzione simmetrica della carica?

Answer 1

L'unica differenza tra cariche positive e negative è il segno della forza che sperimentano in un campo esterno. Il campo esterno è lungo$\mathbf{\hat{z}}$, e così le cariche positive saranno spinte "verso l'alto", e esattamente la stessa cosa accadrà alle cariche negative, tranne che nella direzione opposta.

Dimentica per un momento la sfera e considera un semplice dipolo e convinciti che le cariche positive e negative si comporteranno "simmetricamente" in un campo esterno costante. Ora immagina che la tua sfera "scarica" ​​sia composta interamente da tali "dipoli".

Answer 2

Immagina di capovolgere l'universo nella direzione z prima di considerare la carica che si trova sulla sfera. Questo lascia la sfera la stessa ma capovolge il campo elettrico perché dipende da$ \mathbf{\hat z}$. Ora capovolgi tutte le cariche positive con tutte le cariche negative (questo è chiamato coniugazione di carica). Questo ribalta di nuovo il campo elettrico. Ora siamo esattamente dove abbiamo iniziato. La coniugazione trasformazione capovolgimento + carica ti dà le stesse condizioni iniziali, quindi dovrebbe darti la stessa densità di carica finale. Ciò significa che qualunque densità di carica si ottiene dovrebbe rimanere la stessa dopo aver eseguito la coniugazione capovolgimento + carica, che equivale a dire che la distribuzione della carica è simmetrica.

Answer 3

Per cominciare, il campo elettrico è definito come il gradiente negativo del potenziale, il campo elettrico in qualsiasi punto $(x, y, z)$ è $$ \begin{array}{c} E_{1}=E_{0} \hat{\mathbf{x}}+E_{0} \frac{\sigma_{1}-\sigma_{0}}{\sigma_{1}+2 \sigma_{0}} \frac{R^{3}}{r^{5}}\left[\left(2 x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \hat{\mathbf{x}}+(3 x y) \hat{\mathbf{y}}+(3 x z) \hat{\mathbf{z}}\right](r>R) \\ E_{2}=E_{0} \frac{3 \sigma_{0}}{\sigma_{1}+2 \sigma_{0}} \hat{\mathbf{x}}(r<R) \end{array} $$

Secondo la legge di Gauss per i campi elettrici, la carica elettrica accumulata sulla superficie della sfera può essere quantificata da $$ \begin{array}{c} \int_{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} \mathrm{d} V=\int_{V} \frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \mathrm{d} V=Q \end{array} $$e \ begin {equation} \ mathbf {e} = - \ nabla V \ end {equation} In base al teorema di Gauss, la densità di carica superficiale all'interfaccia è data da

$$ \mathbf{e}_{1} \cdot \mathbf{n}-\mathbf{e}_{2} \cdot \mathbf{n}=\frac{\rho_{s}}{\varepsilon_{0}} $$ Quindi, la quantità di carica accumulata in superficie è $$ \oint_{S} \rho_{s} \mathrm{d} a=\varepsilon_{0} \oint_{S}\left(\mathbf{e}_{1 n}-\mathbf{e}_{2 n}\right)=\varepsilon_{0} \oint_{S} 3 \mathbf{E}_{0} R^{2} \frac{\sigma_{1}-\sigma_{0}}{\sigma_{1}+2 \sigma_{0}} \cos \theta \sin \theta \mathrm{d} \phi \mathrm{d} \theta $$

Dopo un faticoso calcolo, ottieni una distribuzione simmetrica.