Prova per induzione: è corretto?

Question

Prova per induzione che: Per tutti $n\in \mathbb{N}$, $7^{2n}+ 2^{(2n+1)}$ è un multiplo di $3$.

Penso di essere andato abbastanza lontano ma non so se è corretto / come dovrei continuare. Il mio lavoro:

Caso base: mostralo $n=1$ detiene: $7^2 + 2^3 = 57$ e $3|57$ così $n=1$ tiene.

Assumilo $n=k$ detiene: $7^{2k}+2^{(2k+1)}$.

Prova che $n=k+1$ detiene: $7^{(2k+2)} + 2^{(2k+3)}$

L'ho riorganizzato in modo che sia nella stessa forma di $n=k$ e ottenuto $7^2 \cdot 7^{2k} + 2^2 \cdot 2^{(2k+1)}$.

Quindi l'ho semplificato e riorganizzato in $4 \cdot 7^2k + 4 \cdot 2^{(2k+1)} + 45 \cdot 7^{2k}$.

Estrarre un multiplo di $4$ dà $4(7^{2k} +2^{2k+1}) + 45 \cdot 7^{2k}$ e da allora $(7^{2k} +2^{2k+1})$ è un multiplo di $3$, L'ho lasciato uguale $3m$ così è $4(3m) + 45 \cdot 7^{2k}$.

Alla fine, ho tirato fuori un multiplo di $3$ ottenere $3(4m + 15 \cdot 7^{2k})$ che è un multiplo di $3$, quindi l'affermazione vale per induzione.

La mia prova è completamente corretta? C'era un modo più semplice per farlo?

Answer 1

La tua dimostrazione è corretta ma troppo prolissa. Perché non scrivere e basta $$ 7^{2k+2}+2^{2k+3} = 49(7^{2k})+4(2^{2k+1})=45(7^{2k})+4(7^{2k}+2^{2k+1}) $$ e hai finito.

Answer 2

Dato che hai chiesto un modo più semplice (e supponendo che tu debba usare l'induzione), considera l'utilizzo dell'aritmetica modulare:

Per la custodia di base per $n=1$ noi abbiamo $7^{2n}+ 2^{2n+1}\equiv 1^{2n}+-1^{2n+1} \equiv 0 \pmod 3$

Poi $7^{2n+2}+2^{2n+3}=7^{2}\cdot7^{2n}+4\cdot2^{2n+1}\equiv7^{2n+2}+2^{2n+1}\equiv0\pmod 3$ per ipotesi.

Anche se questo è un po 'artificioso poiché in questo caso lo stesso può essere fatto senza la necessità di controllare separatamente il case base.