Qual è l'ideale principale generato da $p$?

Question

Sto studiando algebra astratta, con il libro di Dummit.

Il nostro professore ha introdotto un lemma e io sono confuso con qualche concetto.

Ecco il lemma: "Let $R$ essere un dominio integrale e lascia $p$ essere dentro $R$. Poi$p$ è primo se e solo se $R_p$ (ideale principale generato da $p$) è un ideale primo diverso da zero. "

La prova di questo lemma lo dice $p$ è primo se e solo se $ab$ è divisibile per $p$ poi $x$ o $y$ è anche divisibile per $p$, ed è lo stesso con $ab$ in $R_p$ implica che $a$ o $b$ è anche in $R_p$, ed è lo stesso di $R_p$ è un ottimo ideale.

Non so perché "$p$ è primo se e solo se $ab$ è divisibile per $p$ poi $x$ o $y$ è anche divisibile per $p$, ed è lo stesso con $ab$ in $R_p$ implica $a$ o $b$ anche in $R_p$. "Qual è l'ideale principale generato da $p$? La sua media è ogni ideale di$R$ è generato da $p$, destra? Ma come possiamo dirlo$ab$ in $R_p$ implica che $a$ o $b$ è anche in $R_p$?

Answer 1

Per ogni dato elemento $x$ di un anello unitale commutativo $R$, l'ideale generato da $x$ è solo il set $Rx$dei suoi multipli. Ad esempio l'ideale principale di$2$ in $\Bbb Z$ è costituito dai numeri pari.

Adesso, $ab\in Rp$ è lo stesso che dire $p$ divide $ab$, e quindi la condizione che $Rp$ è un ideale primo coincide con la condizione che $p$ è un elemento fondamentale.

Nota anche che gli ideali generalizzano il concetto di "essere il multiplo di qualcosa ".