Questo sequente logico del predicato è valido?

Oct 13 2020

Questa è forse una stupida serie di domande correlate e il seguente è il problema che l'ha scatenata.

Mi viene chiesto di provare questo sequente logico del predicato:

$\exists x[R(x) \vee S(x)] \;\;\;\;\; |- \;\;\;\;\exists x R(x) \vee \exists x S(x) $

Mi vergogno di dire che non posso provarlo. Ho provato l'approccio diretto così come un approccio di prova per contraddizione, senza fortuna. E poi mi sono reso conto che forse la domanda è sbagliata. Forse non ci sono prove. Naturalmente, non essere in grado di provare un seguito non implica che sia invalido e quindi non so nemmeno se la domanda sia formulata in modo errato. Se questa fosse una domanda di logica proposizionale, e la quantità di atomi proposizionali fosse sufficientemente piccola, potrei costruire una tabella di verità e verificare il coinvolgimento semantico. Una sequenza proposizionale è valida se e solo se è implicata semanticamente, e quindi una tavola di verità potrebbe invalidarla. Tuttavia, con la logica dei predicati e il suo insieme di quantificatori, non ho alcuna esperienza nel controllo delle tabelle di verità in questo caso e quindi non posso nemmeno sapere se il sequente non è valido.

Usando un argomento inglese, posso invalidarlo lasciando $R(x)$ significare $x$ è un oggetto grezzo e $S(x)$ senso $x$ è un oggetto liscio:

"Premessa: esiste un oggetto ruvido come la sabbia. Conclusione: esiste un oggetto liscio come un cuscinetto a sfere".

Dal punto di vista propositivo, la frase è valida perché la premessa e la conclusione sono vere. Ma logicamente, non è valido. L'esistenza di un oggetto grezzo non implica l'esistenza di un oggetto liscio. (Nota a margine: ciò che crea ulteriore confusione è che ora ho lasciato il dominio della logica proposizionale di base e sono entrato in quello che sembra un dominio più "soggettivo" e il suo frustrante)

Ma non c'è "rigore" nell'argomento logico articolato in inglese.

Domande:

La sequenza di cui sopra è valida?
Se sai che è valido perché lo hai dimostrato usando le regole di detrazione, fermati qui
Se non ci sono prove, come puoi dimostrare che non è valido? Usi tabelle di verità?

Risposte

2 lemontree Oct 13 2020 at 19:23

L'inferenza è valida e derivabile.

In generale, un controesempio a un'inferenza non valida consiste in una struttura in cui tutte le premesse sono vere ma la conclusione è falsa.

Il tuo argomento non è corretto perché non mostra precisamente (fornendo un contro modello concreto) che questa interpretazione dei predicati invalida il seguito, e il tuo esempio in inglese non è una deformazione appropriata dell'affermazione: non puoi semplicemente abbandonare uno dei disgiunti in ciascuna delle frasi. Se$R(x)$ è stare per un oggetto grezzo e $S(x)$ liscio, allora l'argomento è "Se esiste un oggetto che è ruvido o liscio, allora o esiste un oggetto ruvido o ne esiste uno liscio".

Normalmente è consigliabile iniziare una dimostrazione di deduzione naturale dal basso verso l'alto, eseguendo le regole di introduzione all'indietro sull'operatore principale fino a quando non si può andare oltre, quindi passare alla parte superiore e scendere dai locali con successive applicazioni di eliminazione regole fino a quando, si spera, ti incontrerai nel mezzo.
In questo caso, la conclusione è una disgiunzione, ma tentare l'introduzione della disgiunzione come ultimo passaggio non porterà al successo, perché ciò richiederebbe una prova di una delle disgiunzioni, che ovviamente non è possibile, perché non si può inferire nessuna delle due le due parti di sicuro, solo la loro disgiunzione. Quindi vai subito in cima e inizia a smontare i locali.

L'unica premessa che ti viene data è un'affermazione esistenziale, quindi la prima cosa da fare è un'eliminazione esistenziale. L'eliminazione esistenziale significa che si assume l'istruzione quantificata per qualche oggetto arbitrario (ad esempio$a$), trai una conclusione da questo assunto, quindi, poiché sai che esiste almeno uno di questi oggetti, puoi inferire con certezza la conclusione. La conclusione a cui vuoi arrivare è$\exists x R(x) \lor \exists x S(x)$, quindi prova a derivarlo in base al presupposto $R(a) \lor S(a)$:

| exists x(R(x) v S(x))
| | R(a) v S(a)
| | -----------
| | ...
| | exists x R(x) v exists x S(x)
| exists x R(x) v exists x S(x)

La prossima cosa dall'alto è la disgiunzione $R(a) \lor S(a)$. Quindi si esegue l'eliminazione della disgiunzione, il che significa che si assume ciascuna delle disgiunzioni, si ricava la stessa conclusione da entrambe, quindi si conclude che poiché almeno uno dei due lati è valido, la conclusione segue di sicuro. La conclusione da inferire alla fine, e nelle due prove secondarie, è di nuovo$\exists x R(x) \lor \exists x S(x)$: